העתקה ליניארית – הבדלי גרסאות

הוסרו 119 בתים ,  לפני 3 שנים
אין תקציר עריכה
}}
 
== מטריצה מייצגת של העתקה ליניארית ==
יהיו <math>\ V</math> ו-<math>\ W</math> מרחבים וקטורים מעל שדה כלשהו <math>\ F</math>, ו-<math>T : V \to TW</math> העתקה ליניארית מ-<math>\ V</math> ל-<math>\ W</math>. יהינקבע <math>B = \{v_1,...,v_n\}</math> בסיס של <math>V</math> ו-<math>C = \{w_1,...,w_m\}</math> בסיס של <math>W</math>. לכל וקטור ב-<math>V</math> ניתן להתאים את [[וקטור קואורדינטות|וקטור הקואורדינטות]] שלו לפי הבסיס B, {{כ}}<math>V \ni v \mapsto [v]_B \in \mathbb{R}^n</math> ובאופן דומה <math>W \ni w \mapsto [w]_C \in \mathbb{R}^m</math>.
</math>בסיס של <math>\ V</math>ו <math>C = \{w_1,...,w_m\}
</math>בסיס של <math>\ W</math>.
 
אזי, נגדיר את [[מטריצה מייצגת|המטריצה המייצגת]] של <math>\ T</math> ביחס לבסיסים <math>B</math> ו-<math>C</math>, שתסומן <math> {[T]^{B}_{C}} \in F^{m\times n}</math> כמטריצה שמקיימת את הקשר הבא:
<math display="block">\forall v \in V : \ \ [T(v)]_C = [T]^B_C [v]_B</math>
</math>,<math>C
ניתן לחשב אותה במפורש על ידי הנוסחה <math> \left( {[T]^B_C} \right)_{ij} := ([T(v_j)]_C)_i</math> אך בפועל ישנן דרכים פשוטות יותר לחשב אותה.
</math> כך:
 
=== תכונות===
סימון + הגדרה: <math> {[T]^{C}_{B}}_{m\times n}
</math>
 
* נסמן ב <math>B'</math> בסיס נוסף של <math> V</math> וב-<math>C'</math> בסיס נוסף של <math>W</math>. נסמן ב-<math> M^B_{B'}</math>את [[מטריצת מעבר|מטריצת המעבר]] מבסיס <math>B</math> לבסיס <math>B'</math> וב-<math> M^C_{C'}</math> את מטריצת המעבר מבסיס <math>C</math> לבסיס <math>C'</math>. אזי <math>[T]^{B'}_{C'} = M_{C'}^C [T]_C^B M^{B'}_B</math> כאשר <math>M^{B'}_B = \left( M_{B'}^B \right)^{-1}</math>.
הגדרה: <math> {[T]^B_C}_{ij} := ([T(v_j)]_C)_i
</math>
 
כלומר: אם A המטריצה של <math>\ T</math>ביחס לבסיסים <math>B
</math>, <math>C
</math>אזי: לכל וקטור <math>v_j
</math> בB מתקיים: <math>T(v_j) = \sum_{i = 1}^m A_{ij}*w_i
</math>
 
=== תכונות===
(נניח את כל מה שכתוב למעלה בתכונות)
 
* יהי <math> U</math> מרחב וקטורי נוסף מעל <math>\ F</math> עם בסיס <math> D</math>ותהי <math> S: W \rightarrow U</math> העתקה ליניארית נוספת. אזי <math>[S \circ T]^B_D = [S]_D^C [T]_C^B</math>
* נסמן ב <math>B'
</math>בסיס נוסף של <math>\ V</math>וב <math>C'
</math>בסיס נוסף של <math>\ W</math>. נסמן ב <math> M^B_{B'}
</math>את [[מטריצת מעבר|מטריצת המעבר]] מבסיס <math>B
</math>לבסיס <math>B'
</math>וב<math> M^C_{C'}
</math>את מטריצת המעבר מבסיס <math>C
</math>לבסיס <math>C'
</math>. בנוסף נסמן ב<math> A
</math> את המטריצה של <math>\ T</math>ביחס לבסיסים <math>B
</math>, <math>C
</math> וב<math> A'
</math>את המטריצה של <math>\ T</math>ביחס לבסיסים <math>B'
</math>, <math>C'
</math>. נקבל: <math> A' = ({M^B_{B'}})^{-1}A({M^C_{C'}})
</math>
* יהי <math> U
</math>מ"ו(מרחב וקטורי) נוסף מעל <math>\ F</math>עם בסיס <math> D
</math>ותהי <math> S: W \rightarrow U
</math>העתקה ליניארית נוספת. נסמן ב<math> A
</math> את המטריצה של <math>\ T</math>ביחס לבסיסים <math>B
</math>, <math>C
</math>וב<math> A'
</math>את המטריצה של <math> S
</math> ביחס לבסיסים <math>C
</math>, <math> D
</math> אזי: <math> [{T\circ S}]^B_D = A'A
</math>.
 
== ההעתקה הדואלית ==