שדה סדור – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
|||
שורה 29:
לפי משפט ידוע של Springer, אם F סדור, אז כל [[הרחבה של שדות|שדה הרחבה]] K/F מ[[ממד (אלגברה ליניארית)|ממד]] אי-זוגי, ניתן גם הוא לסידור (מספר הדרכים להרחיב את הסדר של F אינו עולה על הממד <math>\ [K:F]</math>).
שדה נקרא [[שדה פיתגורי|פיתגורי]] אם כל סכום של ריבועים הוא ריבוע. לא כל שדה כזה ניתן לסידור (לדוגמה, בשדה המספרים המרוכבים כל מספר הוא ריבוע). אלו הם השדות ש[[מספר פיתגורס]] שלהם שווה ל-1. שדה פיתגורי סדור, שכל הרחבה אלגברית סדורה שלו היא פיתגורית, נקרא '''שדה פיתגורי תורשתית'''. ידוע ש-F שדה כזה אם ורק אם מספר פיתגורס של <math>\ F(x)</math> ([[שדה פונקציות|שדה הפונקציות]] במשתנה אחד מעל F) שווה ל-2.▼
שדה סדור הוא [[שדה אוקלידי|אוקלידי]], אם כל איבר חיובי שלו הוא ריבוע. כל שדה אוקלידי הוא פיתגורי (וסדור), משום שסכום של ריבועים הוא תמיד חיובי. לעומת זאת, לא כל שדה פיתגורי סדור הוא אוקלידי. אם אפשר לסדר שדה באופן שהוא יעשה אוקלידי, אז יש רק דרך אחת לסדר אותו (משום שריבוע מוכרח להיות חיובי בכל סדר אפשרי).▼
== ארכימדיות ואוניברסליות ==
כל שדה סדור מכיל עותק של המספרים הטבעיים. אם כל איבר של השדה קטן מאיזשהו מספר טבעי, זהו [[שדה ארכימדי]], ואז ה[[שדה המספרים הרציונליים|מספרים הרציונליים]] [[קבוצה צפופה (סדר)|צפופים]] בו.▼
יהי F שדה סדור. שני אברים חיוביים x,y הם '''ברי-השוואה''' אם קיים n כך ש-<math>\ \frac{1}{n}<x/y<n</math>. קבוצת מחלקות השקילות מהווה חבורה סדורה ביחס לכפל, ונקראת '''חבורת המחלקות הארכימדיות''' של השדה, וגם ה'''טיפוס''' שלו. השדה הוא [[שדה סדור ארכימדי|ארכימדי]] אם ורק אם הוא מטיפוס טריוויאלי. [[הרחבת שדות]] E/F היא '''הרחבה ארכימדית''' אם כל איבר של E בר-השוואה לאיבר של F. השדה '''סגור ארכימדית''' אם אין לו הרחבות ארכימדיות.
שורה 43 ⟵ 48:
==טיפוסים של שדות סדורים==
▲כל שדה סדור מכיל עותק של המספרים הטבעיים. אם כל איבר של השדה קטן מאיזשהו מספר טבעי, זהו [[שדה ארכימדי]], ואז ה[[שדה המספרים הרציונליים|מספרים הרציונליים]] [[קבוצה צפופה (סדר)|צפופים]] בו.
▲שדה נקרא [[שדה פיתגורי|פיתגורי]] אם כל סכום של ריבועים הוא ריבוע. לא כל שדה כזה ניתן לסידור (לדוגמה, בשדה המספרים המרוכבים כל מספר הוא ריבוע). אלו הם השדות ש[[מספר פיתגורס]] שלהם שווה ל-1. שדה פיתגורי סדור, שכל הרחבה אלגברית סדורה שלו היא פיתגורית, נקרא '''שדה פיתגורי תורשתית'''. ידוע ש-F שדה כזה אם ורק אם מספר פיתגורס של <math>\ F(x)</math> ([[שדה פונקציות|שדה הפונקציות]] במשתנה אחד מעל F) שווה ל-2.
▲שדה סדור הוא [[שדה אוקלידי|אוקלידי]], אם כל איבר חיובי שלו הוא ריבוע. כל שדה אוקלידי הוא פיתגורי (וסדור), משום שסכום של ריבועים הוא תמיד חיובי. לעומת זאת, לא כל שדה פיתגורי סדור הוא אוקלידי. אם אפשר לסדר שדה באופן שהוא יעשה אוקלידי, אז יש רק דרך אחת לסדר אותו (משום שריבוע מוכרח להיות חיובי בכל סדר אפשרי).
שדה סדור נקרא [[שדה סגור ממשית|סגור ממשית]] (real closed), אם אין לו הרחבה אלגברית סדורה (לדוגמה, שדה המספרים הממשיים הוא סגור ממשית). כל שדה כזה הוא בוודאי אוקלידי.
| |||