עקרון הויגנס – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ הוספת קישור לריגורוזי |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 1:
[[קובץ:Wellen-Brechung.png|ממוזער|200px|שבירת גלים על פי עקרון הויגנס]]
'''עקרון הויגנס''' (ידוע גם כ'''עקרון הויגנס-פרנל''') קובע כי ניתן להתייחס לכל נקודה ב[[חזית גל]] כמקור נקודתי של [[גל]] חדש: כל נקודה שמופרעת על ידי מעבר של גל דרכה הופכת למקור של [[גל כדורי]], וה[[התאבכות]] של כל הגלים הכדוריים היא הגל הכולל המתקדם במרחב.
העקרון נוסח על ידי [[כריסטיאן הויגנס]] ו[[אוגוסטן ז'אן פרנל]]. על עקרון זה מבוסס הניתוח המתמטי של תופעת ה[[עקיפה]] כמו ב[[ניסוי שני הסדקים]] של [[תומאס יאנג]]. באמצעות עקרון זה ניתן גם להסביר תופעות התאבכות נוספות ו[[שבירה]].
== היסטוריה ==
ב-1678, הויגנס הציע כי כל נקודה אליה מגיעה הפרעה אורית הופכת למקור של גלים כדוריים; הסיכום של כל הגלים המשניים האלו קובע את צורת הגל בכל רגע נתון. הוא הניח שהגלים המשניים נעים פחות או יותר רק בכיוון "חזיתי", אולם לא הסביר לפי התאוריה שלו מדוע זה כך. הוא היה מסוגל לתת הסבר איכותי להתקדמות גלים קווית וכדורית, ולגזור את חוקי [[החזרה (אופטיקה)|ההחזרה]] וה[[שבירה]] באמצעות העיקרון הזה, אבל לא יכל להסביר את הסטיות מתנועה ישרה המתרחשות כאשר אור פוגש בפינות, מפתחים ומסכים, אפקטים שזכו לשם "תופעות [[עקיפה]]". את הסיבה לשגיאה הזאת שלו הסביר
ב-1818, פרנל הראה שעקרון הויגנס יחד עם עקרון ה[[התאבכות]] שלו יכולים להסביר הן את ההתקדמות הקווית של אור והן את תופעות העקיפה. כדי להשיג התאמה עם תוצאות ניסוייות, הוא היה חייב לכלול בתאוריה שלו הנחות שרירותיות נוספות על הפאזה והמשרעת של הגלים המשניים, כמו גם גורם הטיה (obliquity factor). להנחות הללו לא היה בסיס פיזיקלי מוצק אולם הן הובילו לתחזיות שהסכימו עם תצפיות ניסוייות, כמו כתם אראגו (Arago spot).
[[סימאון דני פואסון|פואסון]] היה חבר באקדמיה הצרפתית, אשר בחנה את עבודתו של פרנל. הוא נעזר בתאוריה של פרנל כדי להסיק שאמור להופיע כתם בהיר במרכז הצל של דיסקה קטנה, והסיק מכך שזה לא נצפה שהתאוריה הייתה שגויה. מאוחר יותר, אראגו, חבר אחר בוועד השופטים, ערך את הניסוי והראה שהתחזית נכונה. זו הייתה אחת החקירות שהובילו לניצחון התאוריה הגלית על פני התאוריה החלקיקית של האור, שהייתה דומיננטית במאה שעברה.
[[נוסחת העקיפה של קירכהוף]] סיפקה מסגרת מתמטית [[ריגורוזי]] לעקיפה, המתבססת על [[משוואת הגלים]]. ההנחות השרירותיות אותן עשה פרנל כדי להגיע לניסוח המתמטי של עקרון הויגנס צצות באופן טבעי מהמתמטיקה של תורת העקיפה של קירכהוף.
=== הניסוח המתמטי של העקרון ===
[[
נתייחס למקרה של מקור נקודתי הממוקם בנקודה '''P'''<sub>0</sub>, המייצר גלים ב[[תדירות]] ''f''. את ההפרעה ניתן לתאר על ידי המשתנה המרוכב ''U''<sub>0</sub>, הנקרא גם [[פאזור (אלקטרוניקה)|משרעת מרוכבת]]. הוא מפיק גלים כדוריים עם [[אורך גל]] λ ו[[מספר גל]] ''k'' = ''2π/λ''. המשרעת המרוכבת של הגל הראשי בנקודה
<math>U(r_0) = \frac {U_0 e^{ikr_0}}{r_0} </math>
שורה 30:
<math>~K(\chi )= \frac{1}{2}(1+\cos \chi)</math>
ל-''K'' יש מקסימום ב-χ = 0 כמו בעקרון הויגנס-פרנל; אף על פי כן, ''K'' לא שווה לאפס כאשר
0 = (''K''(χ, כלומר הגלים המשניים כלל לא מועברים לאחור.
שורה 47:
מאחר שהפונקציה R מתאפסת בנקודה היחידה שבה פונקציית דלתא איננה מתאפסת, אגף ימין של המשוואה מתאפס זהותית. פתרון המשוואה בקואורדינטות המקוריות הוא:
:<math>U(\vec{r},\vec{r'}) \propto \frac{1}{|\vec{r}-\vec{r'}|} e^{ik|\vec{r}-\vec{r'}|}</math>
זהו [[גל כדורי]] הבוקע מהנקודה <math>\vec{r'}</math>.
:<math>U(\vec{r}) = \frac{k}{2 \pi i} \int\!\!\!\int U_{0}(\vec{r'}) \frac{e^{ik|\vec{r} - \vec{r'}|}}{| \vec{r} - \vec{r'} |} \cos \theta d^2r'</math>
כאשר <math>\ U_0</math> מקור הגל, <math>\theta</math> הזווית בין וקטור השטח האינפיניטסימלי לבין הווקטור <math>\vec{r}-\vec{r'}</math> והאינטגרל הוא על המשטח המחולל את הגל. אינטגרל זה מבטא את הגל הנצפה כסופרפוזיציה של גלים כדוריים הבוקעים מנקודות שונות על פני משטח
| |||