קבוצת קנטור – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 113:
קבוצת קנטור היא [[קבוצה דלילה]] (nowhere dense) שכן ה[[פנים (טופולוגיה)|פנים]] שלה ריק. היא [[מרחב לא קשיר לחלוטין|לא קשירה לחלוטין]] כי היא לא מכילה אף קטע לא טריוויאלי (קטעים הם הקבוצות ה[[מרחב קשיר|קשירות]] היחידות בישר). תכונות אלה מאפיינות את קבוצת קנטור באופן מלא: כל מרחב מטרי טופולוגי מושלם שהוא לא קשיר לחלוטין, שקול מבחינה טופולוגית (כלומר, [[הומיאומורפיזם|הומיאומורפי]]) לקבוצת קנטור. יתרה מזו, כל מרחב מטרי קומפקטי הוא תמונה רציפה של קבוצת קנטור (וראו גם [[פונקציית קנטור#הכללות|פונקציית קנטור: הכללות]]).
משפט Brouwer מאפיין את קבוצת קנטור באופן מלא: כל [[מרחב האוסדורף]] [[מרחב קומפקטי|קומפקטי]] [[מרחב בלתי קשיר לחלוטין|בלתי קשיר לחלוטין]] ללא נקודות מבודדות הומיאומורפי לקבוצת קנטור. כל [[מרחב מכפלה|מכפלה]] בת-מניה של קבוצות סופיות (עם הטופולוגיה הדיסקרטית) הומיאומורפי לקבוצת קנטור. קבוצת קנטור היא המרחב המטרי הקומפקטי האוניברסלי (היינו, יש פונקציה רציפה מקבוצת קנטור על כל מרחב מטרי קומפקטי). הוכחת המשפט מתבססת על [[פונקציית קנטור#הכללות|הכללה של פונקציית קנטור]]. עובדה זו מייצרת למשל את [[עקום פאנו]].
==וריאציות==
| |||