פונקציית אוילר – הבדלי גרסאות

<math>\ \varphi(p^s)=p^{s-1}(p-1) = p^s\left(1-\frac{1}{p}\right)</math>, והרי המספרים היחידים בין p לp^s המתחלקים בp הם p, 2p, 3p, ..., ומכאן שישנם p-1 כאלה בין כל np ו(n+1)p. בנוסף, מספר הפעמים שיופיע מספר מהצורה הזו הוא בדיוק p^s/p, דהיינו - p^s-1. מ[[משפט השאריות הסיני]] נובע שפונקציית אוילר היא [[פונקציה אריתמטית#כפליות|כפלית]], כלומר, <math>\ \varphi(nm) = \varphi(n)\varphi(m)</math> כל אימת שהמספרים <math>\ n,m</math> [[מספרים זרים|זרים]]. מכיוון שכך, אפשר לחשב את ערכיה על-פי הנוסחה <math>\ \varphi(n) = n\left(1-{1\over p_1}\right)\left(1-{1\over p_2}\right)\cdots\left(1-{1\over p_k}\right)</math>, כאשר <math>\ p_1,p_2,...,p_k</math> הם הגורמים הראשוניים השונים של <math>\ n</math>. לדוגמה <math>\ \varphi(45)=45\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{5}\right)=24</math>.