פונקציית דלתא של דיראק – הבדלי גרסאות

== מבוא פורמלי ==

=== ההגדרה השימושית ===

: <math>\int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta(x) \, dx

= f(0)</math>

[[קובץ:Dirac function approximation.gif|שמאל|מסגרת|פונקציית דלתא של דיראק כגבול של התפלגויות נורמליות <math>\delta_a(x) = \frac{1}{a \sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-x^2/a^2}</math> כאשר <math>a\to 0.</math>]]

 

: <math> \forall f \in C[-\infty,\infty] \ : \ \int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta(x-x_0) \, dx

= f(x_0)</math>

ניתן לראות את פונקציית דלתא כ[[פונקציית צפיפות]] של התפלגות מצטברת, שמקבלת 0 לפני ערך מסוים ו-1 אחריו, כלומר:

::<math> H(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & : & x < 0 \\ 1 & : & x > 0 \end{matrix}\right. </math>

::<math>\ d H(x) = \delta (x) \ dx</math>

שכן עבור ערכים שונים מ-0 פונקציית הביסייד קבועה, ולכן נגזרתה אפס, אך עבור x=0 יש בפונקציית הביסייד קפיצה, כלומר "שיפוע" אינסופי בנקודה. תכונות אלה מתאימות לתיאור האינטואיטיבי של פונקציית דלתא, ובהתאם אחת הדרכים לממש אותה תהיה שימוש מתאים ב[[גבול (מתמטיקה)|גבול]] של הפרש של שתי פונקציות הביסייד.

 

על ידי שימוש במידה זו, אפשר לרשום [[אינטגרל לבג]] ולקבל:

= f(0)</math>

רישום זה מבלבל ועדיף עליו הסימון:

= f(0)</math>

כאשר H היא פונקציית הביסייד. את הרישום האחרון אפשר להצדיק במסגרת התורה של [[אנליזה פונקציונלית]] ו[[אינטגרל ספקטרלי|אינטגרלים ספקטרליים]].

נראה שזוהי סדרת דלתא:

# שטח: כל מלבן הוא ברוחב <math>\ 1/n</math> ובגובה n ולכן השטח שלו שווה ל-1 לכל n.

לכן זוהי סדרת דלתא של פונקציות ממשיות ש[[התכנסות נקודתית|מתכנסת]] במובן החלש לפונקציית דלתא של דיראק (על אף שזו אינה פונקציה ממשית בעצמה). בשרטוט לעיל אפשר לראות המחשה של סדרה זו וכיצד היא נהפכת לשפיץ צר וגבוה.

 

כמו כן היא [[פונקציות זוגיות ואי-זוגיות|פונקציה זוגית]]: <math>\ \delta(x) = \delta(-x)</math>.

 

: ''הוכחה:'' נניח ש-a חיובי (אם a שלילי, נשתמש בתכונת הזוגיות ונעבוד עם <math>-a</math> כארגומנט הפונקציה). כעת,

: <math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta (ax) dx = \frac{1}{|a|} \int_{-\infty}^{\infty} f(y/|a|) \delta (y) dy = \frac{1}{|a|}f(0)</math> כאשר ביצענו את החלפת המשתנים <math>y=ax</math>. {{כ}} <math>\ \blacksquare</math>