הבדלים בין גרסאות בדף "משפטי האי-שלמות של גדל"

מ
אין תקציר עריכה
(←‏ראו גם: הוספת קישור אדום להוכחה של המשפט)
מ
תגית: עריכת קוד מקור 2017
במשך שנים לאחר פרסום המשפטים רווחה ההנחה שאמנם קיימות טענות שלא ניתן להוכיח או להפריך אך הן "לא טבעיות", כלומר לא סביר שבמהלך פיתוח סטנדרטי של תורה מתמטית ניתקל במשפטים כאלו. ההנחה הזו התבררה כשגויה באופן קיצוני בעקבות הוכחת ה[[עצמאות (לוגיקה מתמטית)|עצמאות]] של [[השערת הרצף]]. השערת הרצף שהוצעה על ידי [[גיאורג קנטור]], טוענת כי לא קיימת קבוצה ש[[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמתה]] גדולה מזו של המספרים הטבעיים וקטנה מזו של המספרים הממשיים. השערה זו נחשבה לאחת מהבעיות הפתוחות המרכזיות במתמטיקה בתחילת המאה ה-20 (זו הבעיה הראשונה ברשימת [[23 הבעיות של הילברט]]). בשנת [[1937]] הוכיח גדל כי לא ניתן '''להפריך''' השערה זו במסגרת [[תורת הקבוצות האקסיומטית| אקסיומות ZFC]] ובשנת [[1963]] הוכיח [[פול כהן]] כי לא ניתן '''להוכיח''' השערה זו במסגרת ZFC.
 
ב'''משפט האי-שלמות השני''' הוכיח גדל כי [[תורה (לוגיקה מתמטית)|תורה]] עקבית שהנהשהיא מספיק חזקה לקיים את [[אקסיומות פיאנו]] (שהאריתמטיקה הרגילה מכילה אותה) ובפרט כזאת שמקיימת את ה[[תורת הקבוצות האקסיומטית|אקסיומות של תורת הקבוצות (ZF)]] לא יכולה להוכיח את העקביות של עצמה. משמעות הדבר היא שאין אפשרות להוכיח בתוך המערכת כי האקסיומות הן עקביות. אולם, האפשרות שאי אפשר להפריך את העקביות של עצמה תלויה במערכת האקסיומות שלה (יכול להיות שטענה זאת בלתי תלויה במערכת האקסיומות שלך ויכול להיות שהיא לא נכונה).
 
תנאי המשפט אינם מחייבים מספר סופי של אקסיומות. כלומר, גם אילו היו בידינו אינסוף אקסיומות של [[תורת המספרים]], היה המשפט מתקיים בתנאי הרגיל, שניתן יהיה לזהות בקלות האם טענה נתונה היא אקסיומה של המערכת (תכונה זו נקראת [[תורה אפקטיבית|אפקטיביות]]).