משפטי האי-שלמות של גדל – הבדלי גרסאות

במשך שנים לאחר פרסום המשפטים רווחה ההנחה שאמנם קיימות טענות שלא ניתן להוכיח או להפריך אך הן "לא טבעיות", כלומר לא סביר שבמהלך פיתוח סטנדרטי של תורה מתמטית ניתקל במשפטים כאלו. ההנחה הזו התבררה כשגויה באופן קיצוני בעקבות הוכחת ה[[עצמאות (לוגיקה מתמטית)|עצמאות]] של [[השערת הרצף]]. השערת הרצף שהוצעה על ידי [[גיאורג קנטור]], טוענת כי לא קיימת קבוצה ש[[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמתה]] גדולה מזו של המספרים הטבעיים וקטנה מזו של המספרים הממשיים. השערה זו נחשבה לאחת מהבעיות הפתוחות המרכזיות במתמטיקה בתחילת המאה ה-20 (זו הבעיה הראשונה ברשימת [[23 הבעיות של הילברט]]). בשנת [[1937]] הוכיח גדל כי לא ניתן '''להפריך''' השערה זו במסגרת [[תורת הקבוצות האקסיומטית| אקסיומות ZFC]] ובשנת [[1963]] הוכיח [[פול כהן]] כי לא ניתן '''להוכיח''' השערה זו במסגרת ZFC.

 

 

תנאי המשפט אינם מחייבים מספר סופי של אקסיומות. כלומר, גם אילו היו בידינו אינסוף אקסיומות של [[תורת המספרים]], היה המשפט מתקיים בתנאי הרגיל, שניתן יהיה לזהות בקלות האם טענה נתונה היא אקסיומה של המערכת (תכונה זו נקראת [[תורה אפקטיבית|אפקטיביות]]).