משפט נילסן-שרייר – הבדלי גרסאות

הוסרו 2 בתים ,  לפני שנתיים
מ
לעעבור->לעבור - תיקון תקלדה בקליק
מ (הנצורת->הנוצרת - תיקון תקלדה בקליק)
מ (לעעבור->לעבור - תיקון תקלדה בקליק)
תהי F חבורה חופשית הנוצרת על ידי a<sub>1</sub>,...,a<sub>n</sub> ותהי H תת-חבורה שלה. נבנה גרף G בצורה הבאה: הקודקודים יהיו המחלקות השמאליות של H, ותהיה קשת מהקודקוד Hx עם הסימן a<sub>i</sub> לקודקוד Hxa<sub>i</sub> (קל לראות שזה מוגדר היטב) כיוון שהכפלה ב-a<sub>i</sub> היא פרמוטציה על המחלקות, לכל קודקוד נכנסת בדיוק קשת אחת עם כל יוצר ויוצאת בדיוק קשת אחת. (למרות שתהיה חשיבות לכיוון של הקשתות, כללית נתייחס לגרף כלא מכוון, כלומר הילוכים בגרף יוכלו לעבור בקשתות גם נגד כיוונן)
 
כעת נסמן {A={a<sub>1</sub>,...,a<sub>n</sub>,a<sub>1</sub><sup>-1</sup>,...,a<sub>n</sub><sup>-1</sup>. לכל קודקוד v ולכל איבר מ-A, "ללכת על האיבר" פירושו יהיה: אם האיבר הוא a<sub>i</sub>, לעבור לקודקוד u כך שיש קשת מ-v ל-u עם הסימן a<sub>i</sub>, ואם האיבר a<sub>i</sub><sup>-1</sup>, לעעבורלעבור לקודקוד u כך שיש קשת מ-u ל-v עם הסימן a<sub>i</sub>, ואם האיבר a<sub>i</sub><sup>-1</sup>. (מוגדר היטב כי ראינו שלכל יוצר וקודקוד יש קשת אחת נכנסת ואחת יוצאת מכל סימן) כמו כן למילה w נגדיר "ללכת על המילה" ללכת אחד אחד על איבריה. קל לראות באינדוקציה שאם נצא מהקודקוד Hx ונלך על המילה w נגיע לקודקוד Hxw. מכאן נובע מייד שהגרף קשיר כי כדי להגיע מהקודקוד Hx לקודקוד Hy אפשר ללכת על המילה x<sup>-1</sup>y.
 
כיוון שהגרף קשיר, יש לו עץ פורש. נתבונן בקשתות ש'''לא''' נמצאות עליו ונסמנן E. מטרתנו תהיה להראות ש-H איזומורפית לחבורה החופשית הנוצרת מאיברי E.