ורונסקיאן – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
הגדרה פורמלית |
מ קצת הרחבה |
||
שורה 1:
בתורת [[משוואה דיפרנציאלית|המשוואות הדיפרנציאליות הרגילות]], ה'''וורונסקיאן''' היא פונקציה שמסייעת לפתרון מערכות של משוואות
==הגדרה פורמלית==
שורה 13:
\end{vmatrix}
</math>
כלומר, זוהי הדטרמיננטה שמתקבלת מכך שמציבים את הפונקציות בשורה הראשונה, את ה[[נגזרת]] הראשונה שלהן בשורה השנייה וכן הלאה, עד הנגזרת ה- <math>\ n-1</math>. נשים לב שהוורונסיקאן הוא פונקציה: עבור כל <math>\ x</math> הוא מחזיר את הדטרמיננטה כאשר הפונקציות ונגזרותיהן מחושבות בנקודה <math>\ x</math>.
הוורונסיקאן משמש לבדיקת [[תלות לינארית]] של פונקציות: אם הוורונסיקאן של קבוצת פונקציות שונה מאפס בקטע כלשהו, אז הפונקציות בלתי תלויות בקטע זה. ההפך אינו בהכרח נכון - ייתכן שהוורונסקיאן יתאפס מבלי שהפונקציות יהיו תלויות לינארית. עם זאת, כאשר כל הפונקציות הן פתרון של משוואה דיפרנציאלית כלשהי, התאפסות הוורונסיקאן גוררת את תלות הפונקציות. לכן ניתן להשתמש בוורונסיקאן כדי לבדוק תלות בין פתרונות של אותה משוואה דיפרנציאלית.
עבור מערכת של משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר ראשון נהוג להגדיר את הוורונסיקאן בצורה מעט שונה. כל פתרון של המערכת הוא [[פונקציה וקטורית]], ולכן כל עמודה של הוורונסיקאן מכילה את הרכיבים של פונקציה אחת, במקום את הנגזרות שלה. הגדרה זו שקולה להגדרה המקורית במובן זה שאם מתרגמים משוואה לינארית ממעלה <math>\ n</math> למערכת של <math>\ n</math> משוואות לינאריות ממעלה ראשונה, הוורונסיקאן של הפתרונות יהיה זהה.
עבור וורונסקיאן של מערכת משוואות <math>\ \vec{Y'}=A\vec{Y}</math> כאשר <math>\ A=(a_{ij})</math> היא [[מטריצה]] מסדר <math>\ n\times n</math> מתקיימת '''זהות אבל''': אם <math>\ W(x)</math> הוא הוורונסיקאן של קבוצת פתרונות של המערכת בנקודה <math>\ x</math> אז מתקיים <math>\ W(x)=W(x_0)e^{\int_{x_0}^x\sum_{i=1}^n a_{ii}(t)dt}</math> מזהות זו ברור כי הוורונסיקאן מתאפס בכל נקודה או שאינו מתאפס כלל (שכן האקספוננט אינו יכול להתאפס, ולכן אם <math>\ W(x)=0</math> אז בהכרח גם <math>\ W(x_0)=0</math>).
[[en:wronskian]]
[[category:אנליזה מתמטית]]
| |||