משפט ארצלה-אסקולי – הבדלי גרסאות

יהי <math>\varepsilon>0</math>. אברי <math>\ A</math> רציפים במידה אחידה לכן קיים <math>\ \delta>0</math> כך שלכל <math>x,y\in K</math> ולכל <math>n\in\mathbb{N}</math>, אם <math>d\left(x,y\right)<\delta</math> אזי <math>d\left(|g_n\left(x\right),-g_n\left(y\right)\right)|<\frac{\varepsilon}{3}</math> (כאשר <math>\ d</math> היא פונקציית המטריקה ב-<math>\ K</math>). אבל <math>\ K</math> קומפקטי, לפיכך נכסה אותו במספר סופי של [[כדור (טופולוגיה)|כדורים פתוחים]] בקוטר <math>\ \delta</math> שנסמנם ב <math>\ O_1,\dots,O_l</math>.

לכל <math>\ 1\le i\le l</math> קיים <math>k_i\in\mathbb{N}</math> כך ש-<math>x_{k_i}\in O_i</math> (כי <math>\left\{x_k\right\}_{k=1}^\infty</math> צפופה ב-<math>\ K</math>). כמו כן הסדרה <math>\left\{g_n\left(x_{k_i}\right)\right\}_{n=1}^\infty</math> מתכנסת ל-<math>\xi_{k_i}</math> לכן לפי [[סדרת קושי|תנאי קושי]] קיים <math>\ N_i</math> כך שלכל <math>\ n,m>N_i</math> מתקיים <math>d\left(|g_n\left(x_{k_i}\right),-g_m\left(x_{k_i}\right)\right)|<\frac{\varepsilon}{3}</math>. נסמן <math>\ N:=\supmax(N_i)</math>. כעת, לכל <math>\ n,m>N</math> ולכל <math>x\in K</math> קיים <math>\ 1\le i\le l</math> כך ש-<math>x\in O_i</math> ומתקיים <math>d\left(|g_n\left(x\right),-g_m\left(x\right)\right)| \le d\left(|g_n\left(x\right),-g_n\left(x_{k_i}\right)\right)| + d\left(|g_n\left(x_{k_i}\right),-g_m\left(x_{k_i}\right)\right)| + d\left(|g_m\left(x_{k_i}\right),g_m\left(x\right)\right)| < \varepsilon</math>. לכן, לפי תנאי קושי, הסדרה <math>\left\{g_n\right\}_{n=1}^\infty</math> מתכנסת במידה שווה.