משפט ארצלה-אסקולי

באנליזה פונקציונלית, משפט אַרְצֶלָה-אַסְקוֹלִי (Arzelà–Ascoli, נקרא גם משפט אסקולי) מעניק אפיון מלא לקומפקטיות של משפחת פונקציות רציפות בקבוצה קומפקטית, באמצעות תכונת הרציפות במידה אחידה. המשפט מהווה הכללה מרחיקת-לכת של משפט בולצאנו-ויירשטראס.

תיאור פורמליעריכה

אם   הוא מרחב מטרי קומפקטי כלשהו, מסמנים ב-  את מרחב הפונקציות הרציפות  , שמהווה מרחב וקטורי ביחס לפעולות הסכום והכפל בסקלר המוגדרות נקודתית. זהו מרחב בנך (כלומר מרחב נורמי שלם) תחת "נורמת  -אינסוף":  .

כמו בכל מרחב מטרי, תת-קבוצה A של   היא "חסומה" אם קיים חסם ממשי על כל ערכי הפונקציות שלה.

משפט ארצלה אסקולי: תהי   קבוצה חסומה. אזי לכל סדרה ב-A קיימת תת-סדרה מתכנסת, אם ורק אם A רציפה במידה אחידה.
מסקנה: אם   סגורה (בטופולוגיה הנורמית) וחסומה, אז A קומפקטית אם ורק אם היא רציפה במידה אחידה.
הוכחה: ממשפט ארצלה-אסקולי נובע כי אם A חסומה ורציפה במידה אחידה, אז לכל סדרה יש תת-סדרה מתכנסת. תוספת הנתון ש-A סגורה קובע כי תת-סדרה זו מתכנסת לתוך A. מכאן ש-A מהווה מרחב מטרי שבו לכל סדרה יש תת-סדרה מתכנסת, תכונה השקולה לקומפקטיות. הכיוון השני של השקילות נובע באופן טריוויאלי מהמשפט.
מסקנה: אופרטור האינטגרל   המוגדר  , כאשר   גרעין רציף על  , הוא אופרטור קומפקטי.

הוכחת המשפטעריכה

כיוון ראשוןעריכה

תהי   קבוצה חסומה ונניח שאיברי   רציפים במידה אחידה. נראה שלכל סדרה ב-  יש תת-סדרה מתכנסת. תהי   סדרת פונקציות ב- . תהי   סדרה צפופה ב-  (קיימת כזאת כי   מרחב מטרי קומפקטי לכן ספרבילי).

נתבונן בסדרה  . זוהי סדרה חסומה ב-  בפרט יש לה תת-סדרה מתכנסת. נסמן אותה ב-  ואת גבולה ב- . כעת נתבונן בסדרה  . גם זו סדרה חסומה ב-  לפיכך יש לה תת-סדרה מתכנסת שאותה נסמן ב-  ואת גבולה ב- . וכך בתהליך איטרטיבי לכל   נגדיר את הסדרה   להיות תת-סדרה מתכנסת של   ואת גבולה נסמן ב- .

אם כן, קיבלנו סדרה של סדרות פונקציות. נתבונן בסדרת האלכסון   המוגדרת לכל   כך   (כלומר זו סדרת פונקציות שהאיבר ה- -י שלה הוא האיבר ה- -י בסדרה ה- -ית).

  1. זוהי תת-סדרה של  .
  2. לכל   הסדרה   מתכנסת ל-  שכן הזנב שלה,  , הוא תת-סדרה של  .

יהי  . אברי   רציפים במידה אחידה לכן קיים   כך שלכל   ולכל  , אם   אזי   (כאשר   היא פונקציית המטריקה ב- ). אבל   קומפקטי, לפיכך נכסה אותו במספר סופי של כדורים פתוחים בקוטר   שנסמנם ב  .

לכל   קיים   כך ש-  (כי   צפופה ב- ). כמו כן הסדרה   מתכנסת ל-  לכן לפי תנאי קושי קיים   כך שלכל   מתקיים  . נסמן  . כעת, לכל   ולכל   קיים   כך ש-  ומתקיים  . לכן, לפי תנאי קושי, הסדרה   מתכנסת במידה שווה.

קישורים חיצונייםעריכה

  • דניאלה ליבוביץ, טופולוגיה קבוצתית, בית ההוצאה לאור של האוניברסיטה הפתוחה, 2007, פרק 7: קומפקטיות, עמ' 159–160. הספר מתוך "פא"ר – פתיחת אוצרות רוח", אתר הספרים הדיגיטליים של האוניברסיטה הפתוחה.