קבוצה בת מנייה – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מיותר |
מ replaced: ← |
||
שורה 1:
{{סימון מתמטי}}
ב[[תורת הקבוצות]], '''קבוצה בַּת מְנִיָּה''' היא קבוצה ש[[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמתה]] שווה לעוצמה של [[תת-קבוצה]] כלשהי של [[קבוצת המספרים הטבעיים]], כלומר ניתן למספר את [[איבר (מתמטיקה)|איבריה]] כך שלכל איבר יותאם מספר טבעי ייחודי לו. במילים אחרות, כדי להוכיח שקבוצה היא בת מנייה, יש להדגים [[פונקציה חד-חד-ערכית]] ממנה אל קבוצת ה[[מספר טבעי|מספרים הטבעיים]]. עוצמה של קבוצה בת מניה יכולה להיות סופית או אינסופית. לדוגמה, קבוצת המספרים הטבעיים הזוגיים היא תת-קבוצה של המספרים הטבעיים ועוצמתה היא אינסופית.
העוצמה של קבוצה בת מנייה אינסופית מסומנת באות העברית <math>\aleph_0</math> ([[אלף אפס|אָלֶף אֶפֶס]]).
מ[[משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין]] נובע ש[[קבוצה אינסופית]] שאפשר לסדר את איבריה בסדרה (ואפילו עם חזרות) גם היא בת מנייה. למשל, אם הקבוצות <math>\ A=\{a_1,a_2,a_3,...\}</math> ו-<math>\ B = \{b_1,b_2,b_3,...\}</math> שתיהן בנות מנייה, אז ה[[איחוד (תורת הקבוצות)|איחוד]] שלהן גם הוא בן מנייה, שהרי <math>\ A\cup B = \{a_1,b_1,a_2,b_2,a_3,b_3,...\}</math>.
מובן שקבוצת המספרים הטבעיים <math>\mathbb{N}</math> היא קבוצה בת מנייה. גם כל קבוצה אינסופית שהיא קבוצה חלקית של הטבעיים, כגון קבוצת המספרים הזוגיים או קבוצת המספרים שבייצוג העשרוני שלהם מופיעה הספרה 7, היא קבוצה בת מנייה. תוצאות פחות מובנות מאליהן הן התוצאות לפיהן גם קבוצת ה[[מספר רציונלי|מספרים הרציונליים]] וקבוצת ה[[מספר אלגברי|מספרים האלגבריים]] הן קבוצות בנות מנייה.
שורה 14:
מן ההוכחה הזו נובע למשל שאוסף המספרים הרציונליים (החיוביים) הוא בן מנייה: יש פונקציה מן הזוגות של מספרים טבעיים המכסה את כל המספרים הרציונליים, <math>\ (i,j) \mapsto \frac{i}{j}</math>. העובדה שכל מספר רציונלי מתקבל יותר מפעם אחת (ולמעשה אינסוף פעמים) אינה מפריעה - אם רוצים ליצור רשימה שבה כל רציונלי יופיע פעם אחת, אפשר לדלג על זוגות <math>\,(i,j)</math> שאינם זרים; או לחלופין להשתמש במשפט [[משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין|קנטור-שרדר-ברנשטיין]].
הטיעון של קנטור מראה שכל מכפלה קרטזית <math>A \times B</math> של קבוצות בנות מנייה, גם היא בת מנייה. באינדוקציה נובע שאם <math>\,A</math> קבוצה בת מנייה, אז לכל <math>\,k</math> טבעי הקבוצה <math>\ A^k</math> גם היא בת מנייה. יתרה מזו, גם איחוד של מספר בן מנייה של קבוצות, שכל אחת מהן בת מנייה, הוא בן מנייה.
למשל, <math>\cup_{k=1}^{\infty} \mathbb{N}^k</math> היא קבוצה בת מנייה. בניסוח אחר, קבוצת כל הסדרות ה'''סופיות''' של מספרים טבעיים היא בת מנייה. אלא שיש קבוצות גדולות יותר: משיטת [[האלכסון של קנטור]] יוצא שקבוצת כל הסדרות בנות המנייה של מספרים טבעיים (ואפילו של המספרים 0 ו-1) היא גדולה מכדי להיות בת מנייה. מכיוון שכך, גם [[שדה המספרים הממשיים|קבוצת המספרים הממשיים]] אינה בת מנייה.
| |||