|
ב[[אלגברה]], '''שדה סופי''' הוא [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] אשרשיש [[קבוצהבו (מתמטיקה)|קבוצת]]מספר איבריוסופי היאשל קבוצה סופיתאברים. לשדותהגודל סופייםשל שימושיםכל רבים,שדה ביןסופי היתרהוא ב[[תורתחזקה גלואה]],שלמה של [[תורתמספר המספריםראשוני]]; ולכל חזקה כזו, יש שדה אחד ויחיד (עד כדי [[גאומטריה אלגבריתאיזומורפיזם]]) מן הגודל המתאים. המבנה שלהם (לרבות תת-שדות, [[תורתבסיס הצפינה(אלגברה)|בסיסים]] ו[[קריפטוגרפיה]].סדר כפי(תורת שנראה להלן, המבנההחבורות)|סדר]] של שדות סופייםאברים) מוכר היטב.
לשדות סופיים יש שימושים רבים, בין היתר ב[[תורת המספרים]], [[קומבינטוריקה]], [[גאומטריה]], [[תורת הקודים]] ו[[קריפטוגרפיה]]. את השדות הסופיים קל לפתח במסגרת [[תורת גלואה]], ומשום כך הם קרויים '''שדות גלואה''', על-שמו של [[אווריסט גלואה]].
==תכונות==
יהי <math>\mathbb{F}</math> שדה סופי. אז מתקיימות התכונות הבאות:
* קיימים מספר ראשוני p ומספר טבעי n עבורם ב-<math>\mathbb{F}</math> יש בדיוק <math>\ p^n</math> איברים. המספר p הוא גם ה[[מאפיין של שדה|מציין]] של השדה <math>\mathbb{F}</math>.
*לא קיים שדה סופי מ[[מאפיין של שדה|מציין]] 0, שכן כל שדה ממציין 0 מכיל קבוצה אינסופית ש[[איזומורפיזם (מתמטיקה)|איזומורפית]] ל[[שדה המספרים הרציונליים|מספרים הרציונליים]]. ההפך אינו נכון: יש שדות אינסופיים ממציין שאינו 0.
* השדה הקטן ביותר המוכל ב-<math>\mathbb{F}</math> הוא השדה בעל p איברים - שדה ה[[שארית|שאריות]] מודולו p. הוא מסומן לרוב כ-<math>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</math>, <math>\mathbb{Z}_p</math>, או כ-<math>\mathbb{F}_p</math>.
* <math>\mathbb{F}</math> הוא [[מרחב וקטורי]] ש[[ממד (אלגברה)|ממדו]] n, מעל <math>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</math>.
* <math>\mathbb{F}</math> הוא [[שדה פיצול| שדה הפיצול]] של ה[[פולינום]] <math>t^{p^n}-t</math> מעל השדה <math>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</math>. מכך ניתן גם לראות כי '''לכל''' <math>\ p</math> ראשוני ו-<math>\ n</math> טבעי יש שדה בעל <math>\ p^n</math> איברים, וכי כל שני שדות עם <math>\ p^n</math> איברים זהים עד כדי איזומורפיזם.
*ה[[חבורה]] הכפלית של השדה (כל אברי השדה פרט ל-0 עם פעולת הכפל) היא [[חבורה ציקלית]].
*[[חבורת גלואה|חבורת הגלואה]] של כל שדה סופי <math>\ \mathbb{F}_{p^n}</math> מעל <math>\ \mathbb{F}_p</math> היא חבורה ציקלית ונוצרת על ידי [[אוטומורפיזם פרובניוס]]. ▼
== קיום ויחידות של שדות סופיים ==
===הוכחת התכונות הראשונות===
כדי להראות שהגודל של <math>\mathbb{F}</math> הוא חזקה של מספר ראשוני, נשים לב שהמאפיין שלו לא יכול להיות 0, כי שדות בעלי מאפיין 0 מכילים עותק של [[שדה המספרים הרציונליים]], ולכן הם בהכרח אינסופיים. בנוסף, באופן כללי אם המאפיין של השדה שונה מ-0, אז הוא מספר ראשוני, p, והשדה יכיל בתוכו עותק של השדה <math>\mathbb{Z}_p</math> - שדה השאריות [[חשבון מודולרי|מודולו]] p. נשים לב שהשדה המקורי <math>\mathbb{F}</math> הוא גם [[מרחב וקטורי]] מעל השדה <math>\mathbb{Z}_p</math> עם החיבור והכפל הרגילים, וכאשר הסקלרים הם איברי העותק של <math>\mathbb{Z}_p</math>. נסמן את ה[[ממד (אלגברה)|ממד]] של השדה מעל <math>\mathbb{Z}_p</math> ב-n. המספר n חייב להיות סופי, כי אחרת היו בשדה מספר אינסופי של איברים בלתי תלויים לינארית ובפרט- מספר אינסופי של איברים, ולכן הגודל של <math>\mathbb{F}</math> הוא בדיוק <math>p^n</math>.
לכל מספר ראשוני p, קבוצת המספרים המתחלקים ב- p היא [[אידיאל (אלגברה)|אידיאל]] מקסימלי של [[חוג המספרים השלמים]], והמנה <math>\ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</math> היא שדה בגודל p. בשדה הזה, פעולות החיבור והכפל מחושבות [[חשבון מודולרי|מודולו]] p.
נבנה שדה מגודל <math>p^n</math>, על ידי פיצול פולינום. נסמן את [[שדה פיצול|שדה הפיצול]] של הפולינום <math>\ f(x) = x^{p^n} - x</math> מעל השדה <math>\mathbb{Z}_p</math> ב- E. שדה זה הוא השדה המינימלי שבו הפולינום <math>\ f(x)</math> מתפצל למכפלה של גורמים לינאריים- <math>\ f(x) = (x-a_1 ) \cdot (x-a_2 ) \cdots (x- a_{p^n} )</math>. ניתן להראות על ידי שימוש בתכונות של הנגזרת הפורמלית, שלפולינום הזה אין שורשים כפולים, ולכן הקבוצה <math>\ A = \left\{ a_1 , a_2 , . . . a_{p^n} \right\}</math> היא קבוצה בת <math>p^n</math> איברים בדיוק.
נראה שקבוצה זו היא כבר שדה; קודם כל ברור שהאיברים 0 ו-1 נמצאים ב-A כי <math>\ 0^{p^n} = 0 , 1^{p^n} =1 , (-1)^{p^n} = -1</math> (השיוויון לגבי 1- נובע מהפרדה לשני מקרים - אם p=2 אז במילא 1 =1- , ואחרת החזקה היא איזוגית, ולכן מתקיים השיוויון). בנוסף אם <math>x , y \in A</math> כלומר <math>\ x^{p^n} = x \ \ , \ \ y^{p^n} = y</math> אז גם <math>\ (xy) ^{p^n} = x^{p^n} \cdot y^{p^n} = xy</math>, <math>\ (x ^{-1} ) ^{p^n} = (x^{p^n}) ^{-1} = x^{-1}</math> כלומר הקבוצה סגורה תחת פעולת הכפל וההפכי. בנוסף הוא סגור גם תחת חיבור כי לפי [[הבינום של ניוטון]] (פעולת הכפל היא [[קומוטטיביות|קומוטטיבית]]) מתקבל השיוויון
יהי <math>\ F</math> שדה סופי. לשדה יש [[מאפיין של שדה|מאפיין]], שהוא בהכרח מספר ראשוני p (ולא אפס). משום כך, השדה F מכיל עותק של "השדה הראשוני", <math>\ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</math>. מכאן נובע ש- F הוא [[מרחב וקטורי]] מעל <math>\ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</math>, ומכאן שמספר האברים שלו הוא <math>\ |F|=p^n</math> עבור מספר שלם n.
:<math>\ (x+y)^{p^n} = \sum_{k=0}^{p^n} { {p^n} \choose{k} } x^{ p^n - k} \cdot y ^k</math>
כיוון שמקדמי הבינום <math>{p^n} \choose{k}</math> מתחלקים ב-p עבור כל k חוץ מ- k=0 ו- k=p<sup>n</sup>, למעשה כל איברי הסכום מתאפסים, חוץ מהראשון והאחרון, כלומר <math>\ (x+y)^{p^n} = x^{p^n} + y^{p^n} = x + y</math>, כלומר גם <math>x+y \in A</math>. ובכך הראנו שהקבוצה A סגורה תחת חיבור, חיסור כפל וחילוק, והיא תת קבוצה של שדה- ולכן היא שדה בפני עצמה. שדה זה הוא בן <math>p^n</math> איברים בדיוק, כמו שרצינו. כיוון ששדה הפיצול הוא יחיד עד כדי איזומורפיזם, ושכל שדה בן p^n איברים הוא בדיוק שדה הפיצול של הפולינום <math>\ x^{p^n} - x</math> - קיים רק שדה אחד בן <math>p^n</math> איברים עד כדי איזומורפיזם.
'''קיום'''. יהי K [[שדה פיצול| שדה הפיצול]] של ה[[פולינום]] <math>\ f(t)=t^{p^n}-t</math> מעל השדה <math>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</math> (לפי תורת גלואה, יש שדה יחיד כזה, עד-כדי איזומורפיזם). בשדה K מתקיימות הזהויות <math>\ (ab)^p=a^pb^p</math> ו- <math>\ (a+b)^p=a^p+b^p</math>; מכאן שאוסף הפתרונות <math>\ K_0=\{a\in K: a^{p^n}-a=0\}</math> סגור לחיבור ולכפל; ולכן הוא מהווה תת-שדה של K; הפולינום f מתפצל ב- <math>\ K_0</math> (המכיל את כל השורשים של f), ולכן <math>\ K=K_0</math>. אבל הפולינום f הוא [[פולינום ספרבילי]], ולכן יש לו בדיוק <math>\ deg(f)=p^n</math> פתרונות - מכאן ש- K שדה בעל <math>\ p^n</math> אברים.
'''יחידות'''. כל שדה בן <math>\ p^n</math> אברים מקיים את הזהות <math>\ x^{p^n}=x</math>, ולכן הוא מהווה שדה פיצול של f; מכאן שיש רק שדה אחד כזה. את השדה הזה מסמנים ב- <math>\ \mathbb{F}_{p^n}</math>.
▲*[[חבורת גלואה|חבורת הגלואהגלואה]] של כלהרחבה שדהשל סופישדות סופיים, <math>\ \mathbb{F}_{ pq^n} </ math> מעל <math>\ \mathbb{F} _p_q</math> כאשר q חזקה של ראשוני, היא [[חבורה ציקלית ]] ונוצרתמסדר עלn, הנוצרת על-ידי [[אוטומורפיזם פרובניוס]] <math>\ x\mapsto x^q</math>. כל ההרחבות של שדות סופיים הן ספרביליות.
==דוגמה==
השדה <math>\mathbb{F}_4</math>, קיים ויחיד, כי 4 הוא חזקה של מספר ראשוני, אבל הוא לא חוג המספרים השלמים מודולו 4, <math>\mathbb{Z}_4</math> , כי חוג זה מכיל [[מחלק אפס]].
נשים לב ש- <math>\ 4=2^2</math>, ו- 2 הוא מספר ראשוני, ולכן <math>\mathbb{F}_4</math> הוא [[הרחבת שדות|הרחבה של השדה]] <math>\mathbb{F}_2= \mathbb{Z}_2</math>, ומעלת ההרחבה היא 2. באופן כללי, ניתן ליצור הרחבה ממעלה n על ידי הוספת שורש של [[פולינום]] [[פולינום אי פריק|אי פריק]] ממעלה n לשדה המקורי, ולכן הבעיה של יצירת שדה בן ארבעה איברים היא הבעיה של מציאת פולינום ריבועי אי פריק מעל <math>\mathbb{Z}_2</math>. קל לראות שהפולינום הריבועי האי פריק היחיד בחוג הפולינומים <math>\mathbb{Z}_2 [x]</math> הוא <math>\ x^2 + x + 1</math> - זהו פולינום אי פריק כיוון שהוא פולינום ריבועי בלי שורש בשדה, מה שאפשר לוודא על ידי בדיקת כל<!-- שתי --> האפשרויות. נוסיף שורש של הפולינום לשדה, ונסמן את השורש ב- c. קל לראות שמתקבל השדה <math>\mathbb{F}_4 = \left\{ 0 , 1 , c , c + 1 \right\}</math> כאשר פעולות החיבור והכפל בו נקבעים לפי השיווינות <math>\ x+x=0</math> לכל x ו- <math>\ c^2 + c + 1 = 0</math>. מכאן מתקבל לדוגמה השיוויון <math>\ c ^ 2 = c ^{-1} = c +1</math>, ואת הביטוי <math>\frac{c^3+c}{c+1}</math> אפשר לפשט לביטוי 1.
== פולינומים אי-פריקים ==
אם g הוא פולינום אי-פריק ממעלה n מעל השדה <math>\ \mathbb{F}_q</math>, אז הוא מחלק את <math>\ f(x)=x^{q^n}-x</math>; מצד שני, הפירוק של f לגורמים אי-פריקים כולל את כל הפולינומים האי-פריקים המתוקנים, ממעלה המחלקת את n. אם נסמן ב- <math>\ a_d(q)</math> את מספר הפולינומים המתוקנים האי-פריקים ממעלה d, מתקבלת מכאן הנוסחה <math>\ \sum_{d|n}da_d(q)=q^n</math>. אפשר להפוך את הסדר בעזרת [[נוסחת ההיפוך של מביוס]] - <math>\ a_n(q) = \frac{1}{n}\sum_{d|n}\mu(n/d)q^d</math>. הגורם המשמעותי ביותר בסכום זה הוא הגורם המתאים ל- d=n, ולכן <math>\ a_n(q) \approx \frac{1}{n}q^n</math>.
[[קטגוריה:אלגברה]]
| 