משוואה דיפרנציאלית – הבדלי גרסאות

ב[[מתמטיקה]], '''משוואה דיפרנציאלית''' היא [[משוואה]] שבה ה[[נעלם]] הוא [[פונקציה]], כאשר המשוואה מתארת תלות בין הפונקציה ו[[נגזרת|נגזרותיה]]. למשוואות דיפרנציאליות שימוש רב בתחומי המדע וההנדסה השונים.

 

 

דוגמאות למשוואות דיפרנציאליות בתחומים שונים

* משוואה המתארת [[תאוצה]] (קצב השתנות המהירות) של גוף נופל ברגע מסוים כתלות במהירות באותו רגע. ההסבר לכך הוא שהתנגדות האוויר גדלה באופן פרופורציונלי יחד עם מהירות הגוף, ולכן התאוצה קטנה.

 

==פתרון משוואה דיפרנציאלית==

 

עם זאת, לסוגים מסוימים של משוואות יש שיטות מתודיות לפתרונן. ברוב המקרים הבעיה של מציאת פתרון למשוואה דיפרנציאלית הופכת לבעיה של מציאת [[אינטגרל]] לפונקציה כלשהי, אם כי גם מציאת אינטגרל אינה שיטתית ולא תמיד ניתנת לביצוע. פתרונות הנתונים על ידי אינטגרל, גם אם לא פתור, יכולים להיות שימושיים מאוד, וניתן לחשב את ערכם המקורב לכל צורך מעשי.

באופן כללי, משוואה דיפרנציאלית ליניארית מסדר ראשון היא משוואה מהצורה <math>a_0(x)y'+a_1(x)y=f(x)</math> כאשר המשתנה בפונקציה שלנו הוא <math>y</math>. אם <math>a_0(x)\equiv 0</math> אזי הפונקציה ידועה ואין צורך להמשיך. (אומרים ש- <math>a_0(x)\equiv 0</math> אם מתקיים שלכל x בתחום, <math>a_0(x)=0</math>)

{{ש}}

{{ש}}

נסמן <math>p(x)=\frac{a_1(x)}{a_0(x)}, q(x)=\frac{f(x)}{a_0(x)}</math> ונקבל משוואה מהצורה: <math>y'+p(x)\cdot y=q(x)</math> ולכן כשנרצה לפתור משוואה דיפרנציאלית ליניארית מסדר ראשון, נסתכל על הצורה הזאת.{{ש}}

<math>y=\frac{-\cos(x)}{x}+\frac{C}{x}</math>

 

 

כעת, נרצה למצוא דרך לכל המשוואות הדיפרנציאליות הליניאריות מסדר ראשון.

==קישורים חיצוניים==

{{מיזמים|ויקימילון=משואה דיפרנציאלית}}

* {{MathWorld|OrdinaryDifferentialEquation|משוואה דיפרנציאלית רגילה}}

* {{MathWorld|PartialDifferentialEquation|משוואה דיפרנציאלית חלקית}}