טור טיילור – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
←שימושים: שגיאת כתיב על סמך ידע בסיסי בלשון העברית תגיות: עריכה ממכשיר נייד עריכה דרך האתר הנייד |
MathKnight (שיחה | תרומות) תגיות: עריכה ממכשיר נייד עריכה מיישום נייד עריכה מאפליקציית אנדרואיד |
||
שורה 27:
'''טור טיילור''' של [[פונקציה ממשית]] במשתנה יחיד <math>\ f : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}</math>, הגזירה אינסוף פעמים סביב הנקודה <math>\ x_0</math>, הוא [[טור חזקות|טור החזקות]]
<math display="block">
▲T(x) = f(x_0) + f'(x_0)\cdot(x-x_0)
+ \frac 12 f''(x_0)\cdot(x-x_0)^2
+ \frac 16 f^{(3)}(x_0)\cdot(x-x_0)^3 + ...
+ \frac 1{n!} f^{(n)}(x_0) (x-x_0)^n +
...</math>,
ובקצרה
<math display="block">
כאשר <math>\ f^{(n)}(x_0) = \left. \frac{d^n f}{dx^n}\right|_{x=x_0}</math> ואנו מסכימים שעבור <math>\ n = 0</math> מתקבל <math>\ f^{(0)}(x_0)\frac{(x-x_0)^0}{0!} = f(x_0)</math>.
שורה 45 ⟵ 43:
טור טיילור מוגדר, כאמור, כאשר הפונקציה גזירה אינסוף פעמים בנקודה. עבור הפונקציות האלמנטריות [[אקספוננט]], [[סינוס (טריגונומטריה)|סינוס]] ו[[קוסינוס]], הטור מתכנס בכל הישר. מאידך, ייתכן שהטור יתכנס רק בקטע מסוים (עם או בלי קצות הקטע). אם הטור מתכנס אל הפונקציה בקטע פתוח כלשהו, היא נקראת [[פונקציה אנליטית|אנליטית]].
לא תמיד טור טיילור של פונקציה מתכנס אליה, גם אם היא גזירה אינסוף פעמים. [[אוגוסטין לואי קושי|קושי]] הציע את הדוגמה הבאה: הפונקציה <math>\ f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}</math> (עם <math>\ f(0)=0</math>, כמובן), שהגרף שלה מוצג משמאל, גזירה אינסוף פעמים על כל הישר, וערכי הנגזרות באפס הם אפס, כך שטור טיילור שלה מתכנס זהותית לאפס, למרות שהפונקציה מקבלת ערך זה רק בנקודה אחת.
==שימושים==
| |||