שיטות למציאת אינטגרלים לא מסוימים – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ ←האינטגרל כאופרטור ליניארי: הגהה |
מ ←אינטגרציה בחלקים: הגהה |
||
שורה 44:
{{הפניה לערך מורחב|אינטגרציה בחלקים}}
מקור שיטת אינטגרציה זו, היא ב[[נגזרת]] של מכפלת פונקציות. יהיו <math>f(x): A\longrightarrow B</math> ו-<math>g(x): C\longrightarrow D</math>שתי פונקציות [[מספר ממשי|ממשיות]] [[פונקציה רציפה (אנליזה)|רציפות]] (<math>A,B,C,D,E,F\subseteq \mathbb{R}</math>), ופונקציה שלישית <math>h(x): E\longrightarrow F</math> שנתונה על ידי מכפלת שתי הפונקציות: <math>h(x)\equiv f(x)\cdot g(x):=fg</math>. כמו כן הנגזרת נתונה על ידי: <math>\frac{dh}{dx}=\frac{df}{dx}\cdot g+ \frac{dg}{dx}\cdot f</math>. על ידי העברת אגפים נקבל:
<math>\frac{df}{dx}\cdot g=\frac{dh}{dx}-\frac{dg}{dx}\cdot f</math>, וכעת על ידי אינטגרציה נוכל לקבל את הביטוי: <math>\int \frac{df}{dx}\cdot g=\int (\frac{dh}{dx}-\frac{dg}{dx}\cdot f) </math>. נשתמש בעובדה שהאינטגרל הוא [[אופרטור ליניארי]], ונקבל: <math>\int \frac{df}{dx}\cdot g=\int \frac{dh}{dx}-\int \frac{dg}{dx}\cdot f </math>. בעצם, <math>\int \frac{dh}{dx}=h=fg </math>. מכאן נקבל את הנוסחה לאינטגרציה בחלקים <math>\int \frac{df}{dx}\cdot g=fg -\int \frac{dg}{dx}\cdot f </math>, או בכתיב ניוטוני <math>\ \int f(x)\cdot g'(x)\,dx=f(x)\cdot g(x)-\int f'(x) g(x)\,dx</math>.
| |||