תלות ליניארית – הבדלי גרסאות

לדוגמה, שלושת הווקטורים (1, 0, 0), (0,1,0) ו-(0, 0, 1) ב-<math> \mathbb{R}^3</math> '''בלתי תלויים ליניארית''', אולם (2, 1-, 1), (1, 0, 1) ו-(3, 1-,2) הם וקטורים תלויים ליניארית (מפני שהווקטור השלישי הוא סכום שני הווקטורים הראשונים).

 

יהא <math>\ V</math> [[תת מרחב|תת מרחב ליניארי]] מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] <math>\ \mathbb F</math>. אם <math> \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \ldots, \mathbf{v}_{n}</math> הם וקטורים ב <math>\ V</math>, נאמר שהם '''תלויים ליניארית''' מעל <math>\ \mathbb F</math> אם ישנם [[סקלר (מתמטיקה)|סקלר]]ים <math>\ a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}</math> ב-<math>\ \mathbb F</math>, לא כולם [[0 (מספר)|אפסים]], כך ש- <math>\ a_1 \mathbf{v}_1 + a_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + a_n \mathbf{v}_n = \{0\}</math>. באופן מקוצר: <math> \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i = \mathbf{0} \,</math>. אם לא קיימים סקלרים כאלה אומרים כי <math> \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \ldots,\mathbf{v}_{n}</math> '''בלתי תלויים ליניארית''', או בקיצור בת"ל.

 

מכאן נובע כי הווקטורים <math> \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \ldots, \mathbf{v}_{n}</math> הם בלתי תלויים ליניארית [[אם ורק אם]] מן השוויון <math>\ a_1 \mathbf{v}_1 + a_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + a_n \mathbf{v}_n = \mathbf{0}</math> נובע בהכרח כי <math>\ a_{i}=0</math> לכל <math>\ 1\le i\le n</math>.

 

'''תלות ליניארית''' בין וקטורים <math> \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \ldots, \mathbf{v}_{n}</math> היא וקטור

<math>\ (a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n})</math> עם <math>\ n</math> סקלרים, לא כולם אפס, כך שמתקיים