ויקיפדיה

משוואת פואסון – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
אין תקציר עריכה
תגיות: עריכה ממכשיר נייד עריכה מיישום נייד עריכה מאפליקציית אנדרואיד
מ הגהה, עריכת נוסחאות
שורה 5:
:<math>\Delta\varphi=f</math>
 
כאשר <math>\Delta</math> הוא אופרטור לפלס או [[לפלסיאן]] ו-<math>f ו-&phi;,\varphi</math> הן [[פונקציה|פונקציות]] מרחביות. כאשר המרחב הוא [[מרחב אוקלידי]] מסמנים את הלפלסיאן כך: <math>{\nabla}^2</math> ומשוואת פואסון נכתבת בצורה הבאה:
 
<math>{\nabla}^2 \varphi = f</math>
שורה 20:
 
==אלקטרוסטטיקה==
אחת מאבני היסוד של ה[[אלקטרוסטטיקה]] היא הצגת הבעיה המתוארת על ידי משוואת פואסון. מציאת &phi;<math>\varphi</math> עבור <math>f</math> נתונה היא בעיה חשובה ועל ידי כך מוצאים את פונקציית ה[[פוטנציאל חשמלי|פוטנציאל החשמלי]] עבור התפלגות [[מטען חשמלי|מטענים]] נתונה. במערכת יחידות [[SI]]:
 
:<math>{\nabla}^2 \Phi = - {\rho \over \epsilon_0}</math>
שורה 26:
כאשר <math> \Phi \! </math> הוא הפוטנציאל החשמלי (ב[[וולט]]), <math> \rho \!</math> היא צפיפות המטען (ב[[קולון]] למטר בשלישית) ו-<math> \epsilon_0 \!</math> היא ה[[פרמיטיביות]] של הריק (ב[[פאראד]] למטר).
 
באזור במרחב שבו אין מטענים מתקיים :<math>\rho = 0, \, </math> והמשוואה לפוטנציאל הופכת למשוואת לפלס:
 
:<math>{\nabla}^2 \Phi = 0.</math>
שורה 35:
:<math> \rho(r) = \frac{Q}{\sigma^3\sqrt{2\pi}^3}\,e^{-r^2/(2\sigma^2)}</math>
 
כאשר '''<math>Q</math>''' הוא המטען הכולל, הפתרון <math>\ \Phi(r)</math> של משוואת פואסון:
 
:<math>{\nabla}^2 \Phi = - { \rho \over \epsilon_0 } </math>
שורה 45:
כאשר <math>\mbox{erf}\,(x)</math> היא [[פונקציית השגיאה]].
ניתן לבדוק את נכונות הפתרון על ידי הערכה של <math>{\nabla}^2 \Phi</math>.
שימו לב שעבור ''<math>r''</math> גדול בהרבה מ-&<math>\sigma;</math>, <math>\mbox{erf}\,(x)</math> מתקרבת ל-1 והפוטנציאל <math>\ \Phi(r)</math> שואף לפוטנציאל של מטען נקודתי <math> { 1 \over 4 \pi \epsilon_0 } {Q \over r} </math>, כצפוי.
 
==ראו גם==
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/משוואת_פואסון"