מרכז (תורת החבורות) – הבדלי גרסאות

[[תורת החבורות|בתורת החבורות]] '''מרכז''' [[חבורה (מבנה אלגברי)|החבורה]] <math>G</math> היא [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצת]] כל האיברים, שמתחלפים עם כל איברי <math>G</math>:

<math>\ Z(G)=\{z\in G| gz=zg\ \forall g\in G\} </math>. המרכז הוא תמיד [[תת חבורה נורמלית]] ו[[חבורה אבלית|אבלית]] של <math>G</math>.

אם <math>G</math> היא חבורה אבלית אז מרכז החבורה הוא כל החבורה. מצד שני, חבורה נקראת '''חסרת מרכז''' אם <math>\ Z(G)=\{e\}</math> (המרכז תמיד מכיל את איבר היחידה של החבורה, ולכן הוא אינו יכול להיות [[הקבוצה הריקה|ריק]]).

נתבונן ב[[הומומורפיזם]] <math>\varphi</math> מהחבורה <math>G</math> ל[[חבורת האוטומורפיזמים]] שלה <math>\varphi : G \to \operatorname{Aut}(G)</math> המוגדר לפי <math>\ (\varphi(g))(h)=ghg^{-1}</math>. [[גרעין (אלגברה)|הגרעין]] של ההעתקה, כלומר כל איברי <math>G</math> שעוברים לאוטומורפיזם הזהות, הוא המרכז של <math>G</math>, והתמונה <math>\varphi(G)</math> היא חבורה הנקראת [[חבורת האוטומורפיזמים הפנימית]] של <math>G</math>, ומסומנת <math>\operatorname{Inn}(G)</math>. לפי [[משפטי האיזומורפיזם (אלגברה)|משפט האיזומורפיזם הראשון]] <math>\ G/Z(G)\cong \operatorname{Inn}(G)</math>. לפעמים מסומנת חבורה זו גם כ-<math>G^{\mathrm{ad}} = G/Z(G)</math>.