הבדלים בין גרסאות בדף "חבורה למחצה"

נוספו 1,097 בתים ,  לפני 7 חודשים
אין תקציר עריכה
(עריכת נוסחאות)
=== אידמפוטנטים ===
 
איבר <math>\ e\in S</math> בחבורה למחצה, המקיים את הזהות <math>\ e^2 = e</math>, נקרא '''[[אידמפוטנט]]'''. בחבורה יש רק אידמפוטנט אחד (הלא הוא איבר היחידה), אבל בחבורות למחצה יש בדרך כלל אידמפוטנטים רבים, ואפשר ללמוד מהם רבות על המבנה שלה. את אוסף האידמפוטנטים בחבורה-למחצה <math>S</math> מקובל לסמן ב- <math>\ E(S)</math>. בין האידמפוטנטים מוגדר [[יחס שקילות]]: <math>\ e\sim f</math> אם קיימים <math>x,y</math> כך ש- <math>\ e=xy</math> ו- <math>\ f=yx</math> (היחס טרנזיטיבי משום שאם <math>e=xy,f=yx=zu</math> ו-<math>g=uz</math>, אז <math>xzuy=xyxy=xy=e</math> ו-<math>uyxz=uzuz=uz</math>). אידמפוטנט e הוא '''פרימיטיבי''' אם לא קיים אידמפוטנט אחר f שעבורו fe=ef=f.
 
אחת הדרכים לפענח את המבנה של חבורה למחצה היא דרך תת-החבורות שלהן, שהן חבורות-למחצה ה[[הכלה (תורת הקבוצות)|מוכלות]] במבנה המקורי, ומהוות, כשלעצמן, חבורות. איבר היחידה של כל תת-חבורה כזו הוא אידמפוטנט.
יש גרסה של [[משפט קיילי]] מ[[תורת החבורות]], עבור חבורות-למחצה הפיכות: כל חבורה למחצה הפיכה ניתנת לשיכון באוסף הפונקציות החלקיות החד-חד-ערכיות <math>\ \{f \subseteq X\times X : (x,y),(x,y')\in f \implies y=y'\}</math> של קבוצה כלשהי, <math>X</math>.
בחבורה למחצה הפיכה <math>S</math> שהיא סופית, אם <math>e</math> הוא אידמפוטנט אז <math>\ G_e = \{x \in S : xx^{-1} = x^{-1}x=e\}</math> היא תת-חבורה מקסימלית של <math>S</math> (ואיבר היחידה שלה הוא <math>e</math>). את תורת ההצגות של חבורה-למחצה הפיכה אפשר לתרגם לשפה של [[גרופואיד|גרופואידים]]: לכל חבורה-למחצה הפיכה <math>S</math>, קיים גרופואיד <math>\ G(S)</math>, ולכל שדה <math>F</math>, ה[[אלגברת חבורה|אלגברות]] <math>\ F[S]</math> ו- <math>\ F[G(S)]</math> איזומורפיות.
 
== חבורות למחצה פשוטות ==
 
תת-קבוצה לא ריקה של חבורה למחצה S היא '''אידיאל''' אם היא סגורה לכפל מימין ומשמאל באברי S. למשל, אם ב-S יש איבר אפס 0, אז {0} הוא אידיאל. חבורה למחצה היא '''פשוטה''' אם אין לה אידיאלים למעט עצמה.
כל חבורה למחצה אפשר לשכן בחבורה פשוטה. את החבורה למחצה {0,1} (עם הכפל הרגיל) אי אפשר לשכן בחבורה למחצה פשוטה סופית. חבורה למחצה פשוטה היא '''פשוטה לחלוטין''' אם יש לה אידמפוטנט פרימיטיבי (לדוגמא, אם היא סופית). '''משפט ריס''' (Rees, 1940) מתאר את החבורות למחצה שהן פשוטות לחלוטין בתור אלו שמתקבלות מבניה מטריציאלית מסויימת ("Rees matrix semigroup" מעל חבורה).
 
==קישורים חיצוניים==