|
'''מַכְפֵּלָה קַרְטֵזִית''' (ב[[אנגלית]]: Cartesian product; סימון: <math>\times</math>) היא פעולה על [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצות]] שיוצרת מהן קבוצות חדשות שבהן יש חשיבות לסדר ה[[איבר (מתמטיקה)|איברים]]. המכפלה נקראת '''קרטזית''' לכבוד [[רנה דקארט]] (ששמו הלטיני הוא רנאטוס קרטזיוס) שהגדיר את ה[[מישור (גאומטריה)|מישור האוקלידי]] כקבוצת כל [[זוג סדור|הזוגות הסדורים]] של [[מספר ממשי|מספרים ממשיים]] - ובכך יצר את תחום [[גאומטריה אנליטית|הגאומטריה האנליטית]].
במקרה הפרטי שבו יש שתי קבוצות, <math>A</math> ו-<math>B</math>, המכפלה הקרטזית שלהן מסומנת <math>A&\times; B</math> (קרי <math>A</math> כפול <math>B</math>) והיא קבוצת כל [[זוג סדור|הזוגות הסדורים]] האפשריים, כשבכל זוג האיבר הראשון שייך ל-<math>A</math> והאיבר השני שייך ל-<math>B</math>.
<math>A\times B = \{\,(a,b)\mid a\in A \ \mbox{ and } \ b\in B\,\}.</math>{{הערה|Warner, S: ''Modern Algebra'', page 6. Dover Press, 1990.}}.
לדוגמה: אם קבוצה ''<math>X''</math> מכילה 13 איברים של ערכי קלפים { ''A'', ''K'', ''Q'', ''J'', 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 }
וקבוצה ''<math>Y''</math> מכילה 4 איברים של סוג הקלף {♠, ♥, ♦, ♣}, אזי המכפלה הקרטזית של שתי הקבוצות היא קבוצת קלפי המשחק המוכרת לנו, בעלת 52 האיברים { (♣ ,''A'', ♠), (''K'', ♠), ..., (2, ♠), (''A'', ♥), ..., (3, ♣), (2) }.
באותה הדרך, אם נסתכל על n קבוצות, המכפלה הקרטזית שלהן תיתן קבוצה של [[N-יה סדורה|n-יות]] המוגדרת כך:
בצורה פורמלית, נוכל להגדיר מכפלה קרטזית של כל משפחה (גם אינסופית) של קבוצות באמצעות קבוצת [[פונקציה|פונקציות]] שמוגדרת כך:
<math>\prod_{n \in \Lambda} X_n = \{ f : \Lambda \to \bigcup_{n \in \Lambda} X_n\ \ | \ \forall n:f(n) \in X_n\}</math>. כאן <math>\!\, \Lambda</math> היא קבוצה של אינדקסים (דהיינו - לכל איבר בקבוצת האינדקסים מתאימה קבוצה אחת מתוך הקבוצות המוכפלות). האיברים של המכפלה הן פונקציות, כך שכל פונקציה מייצגת "נקודה" במכפלה. ה[[קואורדינטות]] של הנקודה הן בדיוק הערכים שמחזירה הפונקציה. הדרישה על הפונקציות הללו היא שלכל קואורדינטה, הפונקציה תחזיר ערכים השייכים רק לקבוצה שאותה מייצגת הקואורדינטה.
[[אקסיומת הבחירה]] היא הקביעה שאם <math>\!\, \Lambda</math> היא קבוצה של אינדקסים ולכל
<math>n \in \Lambda</math> הקבוצה <math>\ X_n</math> לא ריקה, אז המכפלה הקרטזית
<math>\prod_{n \in \Lambda} X_n</math> לא ריקה.
==דוגמאות==
*המרחב <math>\!\, \mathbb{R}^n</math> הוא מכפלה קרטזית של <math>n</math> פעמים [[הישר הממשי]] <math>\!\, \mathbb{R}</math>. בכתיב פורמלי: <math>\!\, \mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\dots\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^n</math> (זו גם הסיבה שבגללה כותבים את <math>\!\, \mathbb{R}</math> בחזקת <math>\!\, n</math>).
:כל [[וקטור (אלגברה)|וקטור]] במרחב זה הוא n-יה סדורה <math>\!\, (x_1,x_2,\dots,x_n)</math>. על פי ההגדרה הפורמלית שניתנה לעיל, כל וקטור הוא פונקציה <math>\!\, f:\Lambda\to\mathbb{R}</math> כאשר <math>\!\, \Lambda=\left\{1,2,\dots,n \right\}</math>. עבור נקודה כלשהי <math>\!\, (x_1,x_2,\dots,x_n)</math> במרחב, הפונקציה המתאימה לה היא זו המקיימת <math>\!\, f(k)=x_k</math>.
*נביט בקבוצות <math>\!\, X_n=\left\{1,\dots,n\right\}</math> כאשר <math>\!\, n\isin\mathbb{N}</math>. המכפלה <math>\prod_{n \in \mathbb{N}} X_n </math> היא קבוצת הפונקציות <math>\!\, f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}</math> המקיימות <math>\!\, \forall n\isin\mathbb{N}:f(n)\le n</math>.
;הקבוצה הריקה:
|
