מכפלה קרטזית

במתמטיקה, פעולה על קבוצות שיוצרת מהן קבוצות חדשות שבהן יש חשיבות לסדר האיברים
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

מַכְפֵּלָה קַרְטֵזִית (סימון מתמטי: ) היא פעולה בינארית על קבוצות היוצרת קבוצה חדשה, שאבריה הם הזוגות הסדורים שרכיביהם מגיעים משתי הקבוצות, בהתאמה.

המכפלה נקראת כך על שמו של רנה דקארט (ששמו הלטיני הוא רֶנַאטוּס קַרְטֶזִיּוּס) שהגדיר את המישור האוקלידי כקבוצת כל הזוגות הסדורים של מספרים ממשיים - ובכך יצר את תחום הגאומטריה האנליטית.

הגדרהעריכה

הגדרה:  [1].

תהיינה   ו-  קבוצות. המכפלה הקרטזית שלהן מסומנת   והיא קבוצת כל הזוגות הסדורים האפשריים, כשבכל זוג האיבר הראשון שייך ל-  והאיבר השני שייך ל- .

דוגמהעריכה

אם קבוצה   מכילה 13 איברים של ערכי קלפים { A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} וקבוצה   מכילה 4 איברים של סוג הקלף {♠, ♥, ♦, ♣}, אזי המכפלה הקרטזית של שתי הקבוצות היא קבוצת קלפי המשחק המוכרת לנו, בעלת 52 האיברים ‎{ (2, ♣), (3, ♣), ..., (A, ♥), ..., (K, ♠), (A, ♠) }[2].

באותה הדרך, אם נסתכל על n קבוצות, המכפלה הקרטזית שלהן תיתן קבוצה של n-יות המוגדרת כך:

 

בצורה פורמלית, נוכל להגדיר מכפלה קרטזית של כל משפחה של קבוצות (גם אינסופית) באמצעות קבוצת פונקציות שמוגדרת כך:

 . כאן   היא קבוצה של אינדקסים (דהיינו - לכל איבר בקבוצת האינדקסים מתאימה קבוצה אחת מתוך הקבוצות המוכפלות). האיברים של המכפלה הן פונקציות, כך שכל פונקציה מייצגת "נקודה" במכפלה. הקואורדינטות של הנקודה הן בדיוק הערכים שמחזירה הפונקציה. הדרישה על הפונקציות הללו היא שלכל קואורדינטה, הפונקציה תחזיר ערכים השייכים רק לקבוצה שאותה מייצגת הקואורדינטה.

אקסיומת הבחירה היא הקביעה שאם   היא קבוצה של אינדקסים ולכל   הקבוצה   לא ריקה, אז המכפלה הקרטזית   לא ריקה.

דוגמאותעריכה

  • המרחב   הוא מכפלה קרטזית של   פעמים הישר הממשי  . בכתיב פורמלי:   (זו גם הסיבה שבגללה כותבים את   בחזקת  ).
כל וקטור במרחב זה הוא n-יה סדורה  . על פי ההגדרה הפורמלית שניתנה לעיל, כל וקטור הוא פונקציה   כאשר  . עבור נקודה כלשהי   במרחב, הפונקציה המתאימה לה היא זו המקיימת  .
  • נביט בקבוצות   כאשר  . המכפלה   היא קבוצת הפונקציות   המקיימות  .
הקבוצה הריקה:

נניח:  

 

 

ראו גםעריכה

קישורים חיצונייםעריכה

  מדיה וקבצים בנושא מכפלה קרטזית בוויקישיתוף

הערות שולייםעריכה

  1. ^ Warner, S: Modern Algebra, page 6. Dover Press, 1990.
  2. ^ ללא קלפי הג'וקר