משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין – הבדלי גרסאות

 

==דוגמה לשימוש במשפט==

 

ראשית נשים לב שמתקיים <math>\{f|f: \mathbb {N} \to \{1,0\}\} \subset \{f|f: \mathbb {N} \to \mathbb {N}\} \subset \{f|f: \mathbb {N} \to \mathbb {R}\}</math> כי כל פונקציה מהטבעיים לקבוצה <math>\{0,1\} </math> היא בפרט פונקציה מהטבעיים לטבעיים, וכל פונקציה מהטבעיים לטבעיים היא בפרט פונקציה מהטבעיים ל[[מספר ממשי|ממשיים]] .

[[פונקציית הזהות]] היא תמיד חד-חד-ערכית, ולכן אם קבוצה מוכלת בקבוצה אחרת אז עוצמתה לא גדולה ממנה. מכאן:

 

לפי [[חזקה (מתמטיקה)#קבוצות ועוצמות|ההגדרה המוכללת לחזקה]], האי שוויון הנ"ל שקול ל:

אבל מתקיים <math>|2^{\aleph_0}|=\aleph</math> וכמו כן, על פי [[חזקה (מתמטיקה)#חוקי החזקות|חוקי החזקות]]: <math>\aleph ^{\aleph_0} = (2^{\aleph_0})^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0 \cdot \aleph_0} = 2^{\aleph_0}=\aleph</math> (להוכחת השוויון <math>\aleph_0 \cdot \aleph_0 = \aleph_0</math>, ראו [[קבוצה בת מנייה#קבוצות בנות-מנייה נוספות|כאן]])

 

 

== ראו גם ==