בכתיב עוצמות ניתן לנסח את המשפט כך: אם וגם אז . המשפט מכונה גם "למת הסנדוויץ'" (משום שהוא מסיק מאי-השוויונות את שוויון העוצמות).
חשיבותו הרבה של המשפט היא בכך שהוא מראה שהיחס " אם יש פונקציה חד-חד-ערכית מ- ל-" הוא יחס יחס אנטי-סימטרי. ברור שהיחס הזה טרנזיטיבי, ואם כך הוא מהווה יחס סדר חלש. כדי להוכיח שהיחס הוא יחס סדר מלא, כלומר שלכל שתי עוצמות מתקיים או , דרושה אקסיומת הבחירה.
נניח ש- היא פונקציה חד-חד-ערכית מ- ל-, וש- היא פונקציה חד-חד-ערכית מ- ל-.
נציג כמה הוכחות של המשפט, המבוססות כולן, בדרכים שונות, על חלוקה של אחת הקבוצות לשני חלקים ושימוש ב- עבור אחד מהחלקים וב- עבור השני כדי להגדיר את הבייקציה בין הקבוצות.
נוכיח את המשפט על ידי בניית פונקציה חד-חד-ערכית ועל מ־ ל־.
נניח, ללא הגבלת הכלליות שהקבוצות ו- זרות. נראה שקיימת התאמה חד-חד-ערכית ועל בין שתי הקבוצות. נבנה עבור כל איבר של הקבוצה , וכל איבר של הקבוצה , סדרת איברים מ- ומ- לסירוגין, כך שכל איבר מתקבל על ידי החלת הפונקציה החד-חד-ערכית המתאימה על האיבר שקודם לו:
נשים לב שניתן להמשיך את הסדרה ימינה ללא סוף, אך מאחר ש- ו- לא מוגדרות לכל איברי ו- בהתאמה, לא בהכרח ניתן להמשיך את הסדרה שמאלה עד אינסוף. הסדרות יכולות להסתיים משמאל באיבר של , להסתיים משמאל באיבר של , או להיות אינסופיות (או מעגליות) לשני הכיוונים. נסווג את הסדרות כסדרות קצה-, סדרות קצה- או סדרות ללא קצה בהתאמה. מכיוון ש- ו- הן פונקציות חד-חד-ערכיות, לכל איבר בכל אחת מהקבוצות קיימת רק סדרה אחת כזו עד כדי זהות: אם איבר מופיע בשתי סדרות, כל האיברים מימינו ומשמאלו חייבים להיות זהים בשתיהן. הסדרות יוצרות חלוקה של האיחוד של ו-. לכן מספיק לבנות פונקציה חד-חד-ערכית ועל מ- ל- בכל אחת מהסדרות בנפרד.
כעת, נבנה את הפונקציה החד-חד-ערכית ועל מ- ל-: עבור איברי ששייכים לסדרת קצה-, נגדיר את כ- (כלומר, נלך צעד אחד ימינה בסדרה המתאימה לאיבר). עבור איברי ששייכים לסדרת קצה-, נגדיר את כ- (כלומר, נלך צעד אחד שמאלה בסדרה המתאימה לאיבר), ובאותו אופן נגדיר גם את עבור איברי ששייכים לסדרה ללא קצה. קל לראות שהפונקציה היא אכן חד-חד-ערכית ועל.
נחליף את הקבוצה בתמונה שלה , שהיא ממילא שוות עוצמה ל- משום ש- חד-חד-ערכית.
כעת אפשר להניח ש- ונתונה פונקציה חד-חד-ערכית ; עלינו לבנות פונקציה כזו שהיא חד-חד-ערכית ועל. נסמן ב- את ההרכבה של על עצמה פעמים (כאשר היא פונקציית הזהות). נאמר שאיבר הוא מסוג ראשון אם קיימים ו- כך ש-, ומסוג שני אחרת.
נגדיר פונקציה באופן הבא: אם מסוג ראשון, ו- אחרת. כעת נוכיח כמה טענות קלות:
מוגדרת לתוך . אכן, כל איבר של הוא מסוג ראשון, ולכן .
חד-חד-ערכית. נניח ש-. אם שניהם מסוג ראשון הם שווים כי חד-חד-ערכית; ואם שניהם מסוג שני הם שווים לפי ההנחה. נניח, אם כך, ש- מסוג ראשון ו- מסוג שני. מכיוון ש- מסוג ראשון אפשר לכתוב עבור , ומכיוון ש- מסוג שני, , כלומר גם מסוג ראשון, בסתירה להנחה שהאברים מסוגים שונים.
על: אם הוא מסוג שני, אז הוא שווה לתמונת של עצמו; ואם הוא מסוג ראשון אז ובהכרח , ולכן גם הוא מסוג ראשון, ואז , כך ש- בתמונת בכל מקרה.
למה: תהי פונקציה שומרת הכלה (כלומר, אם אז ). אז יש לה נקודת שבת (כלומר קבוצה כך ש-).
הוכחה
נתבונן באוסף של כל הקבוצות כך ש- . (זהו אוסף לא ריק כי הקבוצה הריקה מקיימת את התנאי). נסמן ב- את איחוד כל הקבוצות באוסף. לכל יש כך ש- ואז , כלומר . הוכחנו, אם כך, ש-. מכיוון ש- שומרת הכלה, מתקיים , כלומר , ולפי ההגדרה של כאיחוד, . לכן היא נקודת שבת.
כעת נבחר . ברור שהפונקציה הזו שומרת הכלה, ולפי הלמה יש לה נקודת שבת, שנסמן ב-. מכיוון ש-, קיבלנו ש-, ולכן .