איזומטריה – הבדלי גרסאות

אחרי שקובעים את הראשית, אפשר לכתוב כל איזומטריה בצורה <math>\ T(p)=Ap+v</math> כאשר <math>\ A</math> היא [[מטריצה אורתוגונלית]] ו-<math>\ v</math> הוא וקטור ההזזה. כאן <math>\ A</math> היא איזומטריה שמשמרת את הראשית. לכן ניתן לחשוב על איזומטריה כאיבר ב- <math>\ O(2)\times \mathbb{R}^2</math> (<math>\ O(2)</math> היא [[חבורת מטריצות|חבורת המטריצות]] האורתוגונליות)

במכפלה הזו, המרכיב <math>\ O(2)</math> פועל על המישור לפי פעולת המטריצות. ביתר פירוט, אם <math>\ T_i (p)=A_i p+v_i</math> עבור <math>\ i=1,2</math>, אז <math>\ T_2\cdot T_1 (p)=A_2 A_1 p+A_2 v_1+v_2</math>.

פרוש הדבר הוא שחבורת האיזומטריות של המישור היא [[מכפלה חצי ישרה]] של <math>\ O(2)</math> ושל

<math>\ \mathbb{R}^2</math>.