הומומורפיזם – הבדלי גרסאות

* '''הומומורפיזם בין חבורות''' הוא פונקציה <math> \varphi : G \rightarrow H</math> שעבורה <math>\,\! \varphi (g_1\cdot g_2)=\varphi (g_1) \star \varphi (g_2)</math> לכל <math>\ g_1,g_2 \in G</math>. הכפל באגף שמאל הוא פעולת החבורה של <math>\ G</math>, ואילו הכפל באגף ימין הוא פעולת החבורה של <math>\ H</math>. מתכונה זו נובע גם שאיבר היחידה של <math>G</math> עובר לאיבר היחידה של <math>H</math>, וההפכי עובר להפכי.

* '''הומומורפיזם בין מרחבים ליניאריים''' נקרא [[העתקה ליניארית]]. זוהי פונקציה מן הווקטורים של מרחב <math>V</math> מעל שדה <math>F</math>, אל הווקטורים של מרחב <math>W</math> מעל אותו שדה, המקיימת שתי אקסיומות: <math>\ \varphi(v_1+v_2) = \varphi(v_1)+\varphi(v_2)</math> (לכל שני וקטורים <math>\ v_1,v_2\in V</math>) ו-<math>\ \varphi(\alpha \cdot v) = \alpha \cdot \varphi(v)</math> (לכל וקטור <math>\ v\in V</math> וסקלר <math>\ \alpha \in F</math>). אותן דרישות, בהחלפת השדה <math>F</math> ב[[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] כלשהו <math>R</math>, מגדירות הומומורפיזם בין [[מודול (מבנה אלגברי)|מודולים]]. גם כאן, אין צורך לדרוש במפורש שהפונקציה מעבירה את איבר האפס של המרחב הראשון אל איבר האפס של השני, משום שזה נובע מן הדרישות האחרות.

# '''הומומורפיזם בין חוגים''' הוא פונקציה <math>\ \varphi : R \rightarrow S</math> (כאשר <math>\ R, S</math> הם [[חוג (מבנה אלגברי)|חוגים]] עם יחידה), השומרת על החיבור והכפל, ומעבירה את איבר היחידה של <math>R</math> לאיבר היחידה של <math>S</math>. תכונה אחרונה זו אינה נדרשת מהומומורפיזם של חוגים בלי יחידה, וקיימים הומומורפיזמים כאלה (שאינם שומרים על איבר היחידה) גם בין חוגים עם יחידה. אם ל- <math>R</math> ו- <math>S</math> יש איבר יחידה, ו- <math>S</math> הוא [[תחום שלמות]], או ש- <math>f</math> היא על, אז כל פונקציה השומרת על החיבור והכפל, מעבירה את איבר היחידה לאיבר היחידה.

נניח ש-<math>\ \varphi : A \rightarrow B</math> הומומורפיזם בין מבנים אלגבריים. ה[[תמונה (מתמטיקה)|תמונה]] היא אוסף האיברים <math>\ \operatorname{Im}(\varphi)</math> של <math>B</math> המתקבלים מהפעלת ההומומורפיזם על אברי <math>A</math>. אם יש למבנה איבר נייטרלי מובחן (איבר היחידה של חבורה, האפס של חוג, מרחב וקטורי, או מודול), אוסף הווקטורים <math>\ \operatorname{Ker}(\varphi)</math> של <math>A</math> העוברים אל האיבר הנייטרלי נקרא ה'''[[גרעין (אלגברה)|גרעין]]''' של ההומומורפיזם. לתמונה ולגרעין יש הגדרות כלליות יותר, בשפה של [[תורת הקטגוריות]].

בחבורות, לדוגמה, התמונה היא [[תת-חבורה]] של <math>B</math>, ואילו הגרעין הוא [[תת-חבורה נורמלית]] של <math>A</math>.

קיומו של הגרעין מאפשר לבנות אובייקט מנה ([[חבורת מנה]], [[חוג מנה]], [[מודול מנה]]), ואז מתקיים [[משפט האיזומורפיזם הראשון]]: <math>\ A/\operatorname{Ker}(\varphi) \cong \operatorname{Im}(\varphi)</math>.