פנים (טופולוגיה) – הבדלי גרסאות

ב[[טופולוגיה]], ה'''פְּנים''' של [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] הוא אינטואיטיבית אוסף הנקודות שנמצאות "בתוך" הקבוצה ולא על [[שפה (טופולוגיה)|השפה]] שלה. נהוג לסמן את הפנים של קבוצה <math>\ A</math> ב-<math>\ \mbox{Int}(A)</math> או ב-<math>\ A^{\circ}</math>.

*תהא <math>\ A</math> קבוצה כלשהי ב[[מרחב טופולוגי]]. נגדיר את הפנים שלה, <math>\ \mbox{Int}(A)</math>, בתור קבוצת כל הנקודות <math>\ x\isin A</math> כך שקיימת [[קבוצה פתוחה]] <math>\ B</math> כך ש-<math>\ x\isin B\subseteq A</math> - כלומר, הקבוצה <math>\ A</math> היא [[סביבה (טופולוגיה)|סביבה]] של <math>\ x</math>.

*תהא <math>\ A</math> קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה בתור הקבוצה הפתוחה הגדולה ביותר שמוכלת ב-<math>\ A</math>. על פי הגדרה זו, הפנים הוא איחוד כל הקבוצות הפתוחות המוכלות ב-<math>\ A</math>.

*תהא <math>\ A</math> קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה באמצעות הנוסחה הבאה המערבת [[משלים (מתמטיקה)|משלים]] ו[[סגור (טופולוגיה)|סגור]]: <math>\ \mbox{Int}(A) = ( \overline{A^c} )^c </math>.

נחשב את הפנים של ה[[קטע]] הסגור <math>\ [0,1]</math> בישר הממשי.

:<math>\ [0,1]^c = (-\infty,0) \cup (1,\infty)</math>

:<math>\ \overline{[0,1]^c} = (-\infty,0] \cup[(1,\infty)</math>

: <math>\ (\overline{[0,1]^c})^c = (0,1)</math>

ולכן הפנים של <math>\ [0,1]</math> הוא הקטע הפתוח <math>\ (0,1)</math>.

*כל [[קבוצה פתוחה]] שווה לפנים שלה: <math>\ A=\mbox{Int}(A)</math>. בפרט הפנים הוא קבוצה פתוחה ולכן <math>\ \mbox{Int}(A)=\mbox{Int}\left(\mbox{Int}(A)\right)</math>.

*<math>\ A\subseteq B \rArr \mbox{Int}(A)\subseteq \mbox{Int}(B)</math>

*<math>\ \mbox{Int}(A)\cup \mbox{Int}(B)\subseteq \mbox{Int}\left(A\cup B\right)</math>

*<math>\ \mbox{Int}\left(A\cap B\right)= \mbox{Int}(A)\cap \mbox{Int}(B)</math>

ה'''חוץ''' של קבוצה <math>A</math>, המסומן <math>\mbox{Ext}(A)</math>, מוגדר כפנים של המשלים שלה: <math>\ \mbox{Ext}(A) = \mbox{Int}(A^c)</math>. באופן שקול, ניתן להגדיר את החוץ כמשלים של ה[[סגור (טופולוגיה)|סגור]]: <math>\ \mbox{Ext}(A) = (\overline{A})^c</math>.