שיטות למציאת אינטגרלים לא מסוימים – הבדלי גרסאות

{{סימון מתמטי}}לחלק מה[[אינטגרל לא מסוים|אינטגרלים הלא מסוימים]] ניתן למצוא [[פתרון אנליטי]] כללי, כלומר פתרון של האינטגרל מהצורה: <math> \int f \left( x \right)\, dx\mathrm{d}x</math>. בעזרת פתרון כזה ניתן לקבל (בעזרת [[המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי|המשפט היסודי]]) גם פתרון ל[[אינטגרל מסוים]].

יהי מספר סופי (קבוע) <math>n \in\mathbb{R}</math> של [[פונקציה|פונקציות]] [[אינטגרביליות]] בקטע <math>I</math>, <math>f(x)_n :\colon A_n\rightarrow B_n</math>כאשר <math> A_n, B_n \subseteq \mathbb{R}</math>. מתקיים:

<math>\int \left(\sum_{i=1}^n \zeta_if(x)_i \right)dx\, \mathrm{d}x=\sum_{i=1}^n \zeta_i \int f(x)_i dx\,\mathrm{d}x </math>

<math>\int \left(\sum_{i=1}^n \zeta_if(x)_i \right)dx\, \mathrm{d}x=\zeta_1 \int f(x)_1dx_1 \,\mathrm{d}x+ \zeta_2 \int f(x)_2dx_2 \,\mathrm{d}x+...+\zeta_n \int f(x)_ndx_n \,\mathrm{d}x </math>

:<math>\int e^x+\cos(x) dx\,\mathrm{d}x= \int e^x dx\,\mathrm{d}x +\int \cos(x) dx\,\mathrm{d}x = e^x + \sin(x) + C</math>

<math>\int x^n dx\,\mathrm{d}x=\begin{cases}\ln( x) +C & n=-1 \\ \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C & \text{else} \end{cases}</math>

<math>\int \sin (x)dx \,\mathrm{d}x = - \cos (x) +C</math>

<math>\int \cos (x)dx \,\mathrm{d}x = \sin(x) +C</math>

<math>\int \frac{dx\mathrm{d}x}{\cos^2(x)}= \tan(x)+C</math>

<math>\int -\frac{dx\mathrm{d}x}{\sin^2(x)}= \frac{1}{\tan(x)}+C</math>

<math>\int n^xdxx \,\mathrm{d}x= \frac{n^x}{\ln(n)}+C</math>

<math>\int \frac{dx\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}= \arcsin (x) +C=- \arccos(x)+C</math>

<math>\int \frac{dx\mathrm{d}x}{1+x^2}= \arctan (x) +C</math>

מקור שיטת אינטגרציה זו, היא ב[[נגזרת]] של מכפלת פונקציות. יהיו <math>f(x): \colon A\longrightarrow B</math> ו-<math>g(x): \colon C\longrightarrow D</math>שתי פונקציות [[מספר ממשי|ממשיות]] [[פונקציה רציפה (אנליזה)|רציפות]] (<math>A,B,C,D,E,F\subseteq \mathbb{R}</math>), ופונקציה שלישית <math>h(x): E\longrightarrow F</math> שנתונה על ידי מכפלת שתי הפונקציות: <math>h(x)\equiv f(x)\cdot g(x):=fg</math>. כמו כן הנגזרת נתונה על ידי: <math>\frac{dh\mathrm{d}h}{\mathrm{dxd}x}=\frac{df\mathrm{d}f}{dx\mathrm{d}x}\cdot g+ \frac{dg\mathrm{d}g}{dx\mathrm{d}x}\cdot f</math>. על ידי העברת אגפים נקבל:

<math>\frac{df\mathrm{d}f}{\mathrm{dxd}x}\cdot g=\frac{dh\mathrm{d}h}{dx\mathrm{d}x}-\frac{dg\mathrm{d}g}{dx\mathrm{d}x}\cdot f</math>, וכעת על ידי אינטגרציה נוכל לקבל את הביטוי: <math>\int \frac{df\mathrm{d}f}{dx\mathrm{d}x}\cdot g=\int \left(\frac{dh\mathrm{d}h}{dx\mathrm{d}x}-\frac{dg\mathrm{d}g}{\mathrm{dxd}x}\cdot f\right) </math>. נשתמש בעובדה שהאינטגרל הוא [[אופרטור ליניארי]], ונקבל: <math>\int \frac{df\mathrm{d}f}{\mathrm{dxd}x}\cdot g=\int \frac{dh\mathrm{d}h}{dx\mathrm{d}x}-\int \frac{dg\mathrm{d}g}{dx\mathrm{d}x}\cdot f </math>. בעצם, <math>\int \frac{dh\mathrm{d}h}{dx\mathrm{d}x}=h=fg </math>. מכאן נקבל את הנוסחה לאינטגרציה בחלקים <math>\int \frac{df\mathrm{d}f}{dx\mathrm{d}x}\cdot g=fg -\int \frac{dg\mathrm{d}g}{dx\mathrm{d}x}\cdot f </math>, או בכתיב ניוטוני <math>\ \int f(x)\cdot g'(x)\,dx\mathrm{d}x=f(x)\cdot g(x)-\int f'(x) g(x)\,dx\mathrm{d}x</math>.

לחלופין נגדיר <math>\begin{matrix} u:=f(x) & du:=f'(x)dx \,\mathrm{d}x \\ v:=g(x) & dv:=g'(x)dx \,\mathrm{d}x \end{matrix}</math>, ועל ידי הצבה לאינטגרל נקבל <math>\int udv=uv-\int vdu</math>.

כלומר בעת פתרון האינטגרל, נצטרך לבחור חלק מהאינטגרנד (הפונקציה עליה מתבצעת האינטגרציה) להיות <math>u</math>, את הנותר <math>dv\mathrm{d}v</math> ועל ידי גזירה לקבל את <math>du\mathrm{d}u</math> ועל ידי אינטגרציה לקבל את <math>v</math>, ומכאן פשוט להציב בנוסחה לעיל ולפתור. לעיתים יהיה צורך בשימוש בשיטה זו יותר מפעם אחת כדי לפתור אינטגרל.

<math>\int \ln(x) dx\,\mathrm{d}x =\begin{Bmatrix} u=\ln(x) & du=\frac{1}{x}dx \,\mathrm{d}x \\ v=\int dx\,\mathrm{d}x=x & dv\mathrm{d}v=1dx1\mathrm{d}x \end{Bmatrix}=x \ln(x)-\int x\cdot\frac{1}{x}dx \,\mathrm{d}x=x \ln(x)-\int dx\mathrm{d}x=x \ln(x)-x+C </math>

<math>\int x^2e^xdxx \,\mathrm{d}x=\begin{Bmatrix} u=x^2 & du\mathrm{d}u=2xdx2x\mathrm{d}x \\ v=\int e^xdxx\mathrm{d}x=e^x & dv\mathrm{d}v=e^xdxx\mathrm{d}x \end{Bmatrix}=x^2e^x-\int 2xe^xdxx\mathrm{d}x </math>

<math>2\int xe^xdxx \,\mathrm{d}x=\begin{Bmatrix} u=x & du\mathrm{d}u=dx\mathrm{d}x \\ v=\int e^xdxx\mathrm{d}x=e^x & dv=e^xdxx\mathrm{d}x \end{Bmatrix}=2 \left( xe^x-\int e^xdxx \,\mathrm{d}x \right)=2xe^x-2e^x+c_1 </math>

<math>\int x^2e^xdxx \,\mathrm{d}x=x^2e^x-2xe^x+2e^x+C </math>

<math>\int e^x \cos x dx\,\mathrm{d}x=\begin{Bmatrix} u=\cos x & du\mathrm{d}u=- \sin x dx\,\mathrm{d}x \\ v=\int e^xdxx \,\mathrm{d}x=e^x & dv\mathrm{d}v=e^xdxx \,\mathrm{d}x \end{Bmatrix}=e^x \cos x-\int (- \sin x)e^xdxx \,\mathrm{d}x=e^x \cos x+\int \sin xe^xdxx \,\mathrm{d}x </math>

<math>\int \sin xe^xdxx \,\mathrm{d}x= \begin{Bmatrix} u=\sin x & du\mathrm{d}u= \cos x dx\,\mathrm{d}x \\ v=\int e^xdxx \,\mathrm{d}x=e^x & dv\mathrm{d}v=e^xdxx \,\mathrm{d}x \end{Bmatrix}= e^x\sin x- \int e^x \cos x dx\,\mathrm{d}x </math>

למעשה, לא הצלחנו להיפטר מסימן האינטגרל, ויתר על כן, הגענו לאותו האינטגרל שקודם לכן לא יכולנו לפתור. יחד עם זאת, ישנה דרך להגיע לפתרון האינטגרל. לשם כך נסמן <math>I := \int e^x \cos x dx\,\mathrm{d}x </math>. נציב בחזרה את פתרון האינטגרל השני ונקבל: <math>I= e^x \cos x+e^x\sin x- I </math>. נעביר אגפים ונקבל <math>2I=e^x \cos x+e^x\sin x </math>. על ידי חלוקה בשתיים, נמצא את פתרון האינטגרל: <math>I=\int e^x \cos x dx\,\mathrm{d}x=\frac{e^x \cos x+e^x\sin x}{2}+C </math>.