שדה שברים – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ הוספת פרק קישורים חיצוניים + תבנית:MathWorld (בערכים בהם אין קישורים חיצוניים) (תג) (דיון) |
Bustan1498 (שיחה | תרומות) סידור |
||
שורה 1:
ב[[אלגברה]], '''שדה השברים של תחום שלמות
==בניה לא פורמלית==
שורה 5:
נבנה את שדה השברים בדומה לתהליך הבניה הפורמלי של שדה הרציונליים מחוג המספרים השלמים. כדי ליצור שדה נבנה לכל איבר שונה מאפס בתחום השלמות הפכי, ונסגור את האובייקט שנוצר תחת פעולות החוג (חיבור וכפל).
נסמן את ההפכי שבנינו לאיבר <math>\ a \in R</math> ב- <math>\frac{1}{a}</math>. איבר זה כבר לא בהכרח שייך לחוג המקורי. כיוון שתחום שלמות הוא חוג [[קומוטטיביות|קומוטטיבי]], ההפכי של המכפלה <math>ab</math> (או <math>a
:<math>\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b}=\frac{1}{ab}</math>.
קיום ההופכיים מאפשר לנו לפתור משוואות מהצורה <math>\ ax=b</math>, על ידי הכפלה משמאל בגורם <math>\frac{1}{a}</math>, ולכן פתרון המשוואה הוא המכפלה <math>\frac{1}{a} \cdot b</math> (כאן יש בעצם רמאות כי אנו מכפילים גורם בחוג <math>R</math> עם גורם שהוא מחוץ לחוג ולכן המכפלה מראש לא מוגדרת), את המכפלה הזו נסמן כ"שבר" <math>\frac{b}{a}</math>.
אם <math>\ a , b , c , d \in R</math> אז נשים לב שהפתרון למשוואה <math>\ bd \cdot x =ac</math> הוא מצד אחד <math>\frac{ac}{bd}</math> ומצד שני המכפלה <math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}</math> ולכן קיבלנו כלל לביצוע מכפלה בין השברים:
שורה 13:
בצורה דומה ניתן לקבל גם כלל לחיבור בין שברים, על ידי "מכנה משותף":
:<math>\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}</math>
כיוון שזהו תחום שלמות מתקבל גם שניתן לצמצם משוואה ולכן אם <math>\ ab \cdot x=ac</math> ו-<math>a</math> שונה מאפס, אז גם <math>\ bx=c</math> או בצורת השברים:
: <math>\frac{ab}{ac} = \frac{b}{c}</math> ובפרט <math>\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = \frac{1}{1} =1 </math> - כלומר לכל איבר שאינו אפס קיים הפכי.
==בניה פורמלית==
נבנה את שדה השברים על ידי הגדרת פעולות כפל וחיבור על [[מחלקת שקילות|מחלקות שקילות]] מקבוצת [[זוג סדור|זוגות הסדורים]] <math>
קודם כל, נרצה שיהיה אפשר לצמצם את השבר כלומר - <math>\frac{ac}{bc} = \frac{a}{b}</math> ולכן נגדיר את [[יחס שקילות|יחס השקילות]] <math>\sim</math> על הקבוצה <math>\ R \times ( R
: <math>\ (a,b) \sim (ac,bc) </math>
את מחלקת השקילות של <math>(a,b)</math> נסמן <math>[a,b]</math>.
נגדיר, בהתאם לבניה הלא פורמלית את הכפל ואת החיבור:
שורה 28:
ניתן להראות שהפעולות [[מוגדר היטב|מוגדרות היטב]] (כלומר אין תלות בבחירת הנציגים של מחלקת השקילות), והן [[קומוטטיביות]] ו[[אסוציאטיביות]], ולכן יוצרות חוג קומוטטיבי עם יחידה (הוכחה מפורשת נמצאת בערך [[מספר רציונלי]]). [[איבר האפס]] של החוג הוא <math>\ [0,1]</math> ו[[איבר היחידה]] של החוג הוא <math>\ [1,1]</math>. לכל איבר <math> \ [a,b]</math> קיים נגדי והוא <math>\ [-a,b]</math>, ואם <math> a \ne 0</math> אז קיים לו גם [[איבר הפכי|הפכי]], <math>\ [b,a]</math>, ולכן זהו [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]].
שדה זה מכיל עותק של החוג <math>R</math>, שהוא האיברים <math>[a,1]</math>.
==דוגמאות==
* אם <math>R</math> הוא כבר שדה, אז שדה השברים שלו [[איזומורפיזם#איזומורפיזם בין חוגים|איזומורפי]] ל-<math>R</math> עצמו. לפיכך, מכיוון שתחום שלמות סופי הוא שדה, נובע ש[[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמת]] שדה השברים שווה תמיד לעוצמת החוג המקורי.
* שדה השברים של <math>\mathbb{Z}</math> (השלמים) הוא שדה המספרים הרציונליים <math>\mathbb{Q}</math> .
* שדה השברים של <math>
==קישורים חיצוניים==
| |||