משוואה דיפרנציאלית רגילה – הבדלי גרסאות

משוואה דיפרנציאלית נקראת '''ספרבילית''' אם היא מהצורה <math>\ y'-M(x)/N(y)=0</math> או שניתן להביאה לצורה זו. כלומר, ניתן להפריד בין המשתנה <math>\ x</math> והמשתנה <math>\ y</math>. דרך כתיבה נוספת למשוואה זו היא <math>\ M(x)dx \,\mathrm{d}x=N(y)dy \,\mathrm{d}y</math>, כלומר, "מפרקים" את הנגזרת <math>\ y'=\frac{dy\mathrm{d}y}{dx\mathrm{d}x}</math> למרכיבים שכל אחד באגף נפרד. נשים לב כי זהו סימון בלבד.

פתרון של משוואה ספרבילית נעשה באמצעות הבאתה לצורה <math>\ M(x)dx \,\mathrm{d}x=N(y)dy \,\mathrm{d}y</math> וביצוע אינטגרציה לשני האגפים: <math>\ \int_{x_0}^x M(x)dx \,\mathrm{d}x=\int_{y_0}^y N(y)dy \,\mathrm{d}y</math>, כאשר <math>\ y_0=y(x_0)</math> הוא תנאי ההתחלה של המשוואה. (זו אמנם אינה דרך פתרון שכל הצעדים בה תקינים פורמלית, אך ניתן להוכיח כי היא מחזירה את התוצאה הנכונה).

משוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון נקראת '''מדויקת''' אם היא מהצורה <math>\ M(x,y)dx \,\mathrm{d}x+N(x,y)dy \,\mathrm{d}y=0</math> כך שמתקיים <math>\ \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}</math>.

[[משוואה דיפרנציאלית ליניארית|משוואה ליניארית]] הומוגנית מסדר שני היא משוואה מהצורה <math>\ y''+p(x)y'+q(x)y=0</math>. סכום וכפל בקבוע של פתרונות משוואה זו הם פתרונות בעצמם, ולכן, הפתרונות מהווים [[מרחב וקטורי]], וניתן למצוא בסיס למרחב זה. כלומר, בהינתן שני פתרונות פרטיים [[תלות ליניארית|בלתי תלויים]] של המשוואה, כל צירוף ליניארי שלהם מהווה בעצמו פתרון שלה. [[תנאי הכרחי ומספיק]] לכך ששני פתרונות יהוו בסיס מובע באמצעות מטריצה של הפונקציות ונגזרותיהן הראשונות, הנקראת [[ורונסקיאן]].