גז בוז – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ הגהה |
Matanyabot (שיחה | תרומות) מ בוט החלפות: ממדי, אידיאל, \1על ידי, תלויה, אנרגיה, פונקציית, מדויק, ]] (, מסוי\1, ,, לצורכי, איינשטיין |
||
שורה 1:
'''גז בוז''' אידיאלי הוא המקבילה ב[[מכניקת הקוונטים]] (ביחד עם גז פרמי) למושג בפיזיקה הקלאסית של [[גז אידיאלי]]. הוא מורכב מ[[בוזונים]], אשר להם [[ספין]] שלם, ומציית ל[[התפלגות בוז-איינשטיין]]. [[מכניקה סטטיסטית|המכניקה הסטטיסטית]] של הבוזונים פותחה על ידי [[סאטינדרה נאת בוז]] עבור [[פוטון|פוטונים]] (ראו גם: [[גז פוטונים]]) והורחב ל[[חלקיק]]ים בעלי [[מסה]] על ידי [[אלברט איינשטיין]], אשר הבין כי גז אידיאלי המורכב מבוזונים, בניגוד לגז אידיאלי קלאסי, יתעבה בטמפרטורות נמוכות מספיק. עיבוי זה נקרא [[עיבוי בוז-איינשטיין]].
גז אידיאלי הוא [[מודל (מדע)|מודל]] [[פיזיקה|פיזיקלי]] עבור התנהגות חומר ב[[מצב צבירה]] של [[גז]] המניח שאין [[אינטראקציה]] בין חלקיקי הגז. באמצעות שיקולים קלאסיים ניתן לפתור את תופעת הגז
על פי מכניקת הקוונטים כל החלקיקים נחלקים לשני סוגים: [[בוזון|בוזונים]] [[פרמיון|ופרמיונים]], לפיכך גז המורכב מפרמיונים יקרא [[גז פרמי]] וגז המורכב מבוזונים ייקרא [[גז בוז]].
כל חלקיק גז בודד, יוכל להימצא ב[[מצב קוונטי|מצבים קוונטים]] שונים, כאשר להימצאותו במצב קוונטי
פרמיון הוא חלקיק בעל [[ספין]] שלם, אשר מציית ל[[עקרון האיסור של פאולי]] לפיו אסור לשניים ממנו לאכלס את אותו המצב קוונטי. בוזון הוא חלקיק בעל ספין חצי שלם, אשר אינו מציית לכלל איסור זה ולכן אין מגבלה למספר הבוזונים שיוכלו לאכלס את אותו המצב הקוונטי.
במקרה של גז
ככל שהטמפרטורה יורדת, החלקיקים יאבדו אנרגיה ויאכלסו מצבים קוונטים בעלי אנרגיה נמוכה יותר ויותר. כאשר הטמפרטורה תהיה נמוכה מספיק, האכלוס הממוצע של כל מצבים קוונטים נמוכים(בעלי אנרגיה קטנה) יהיה גבוה מספיק כדי שההתנהגות הקוונטית של בוזונים ופרמיונים תהיה הדומיננטית ובגבול זה גז פרמי וגז בוז יתנהגו באופן שונה מהגז הקלאסי. למעשה בגבול זה של גז בוז יוכל להתקיים [[מעבר פאזה]] מסדר שני שנקרא [[עיבוי בוז-איינשטיין|עיבוי בוז-
ישנם ניתוחים מעמיקים יותר של גז המורכב מבוזונים, אשר אינם מניחים חוסר אינטראקציה מוחלט בין החלקיקים, אך ניתוחים אלו הינם מעבר לערך זה.
שורה 20:
! style="{{{עיצוב כותרת|}}}" |{{{כותרת|}}}פיתוח מתמטי של התפלגות בוז-איי{{{כותרת|}}}נשטיין
|-
|{{{תוכן|}}}המטרה היא פיתוח [[פונקציית חלוקה (פיזיקה)#פונקציית החלוקה הגרנד-קנונית|פונקציית החלוקה הגראנד קנונית]] של מערכת בהנחה שהינה מורכבת מבוזונים שקיים בה מצב קוונטי
חשוב לציין שלמרות שהפיתוח נעשה באנסבל הגראנד קנוני, התוצאות הסופיות יהיו תקפות באופן כללי, כך שלדוגמה ניתן יהיה למצוא את מספר החלקיקים כפונקציה של הפרמטרים האחרים.
שורה 40:
{{{תוכן|}}}{{{תוכן|}}}
|}[[קובץ:Bose Einstein distribution.jpg|ממוזער|התפלגות בוז-
שורה 52:
מהדרישה שפונקציית החלוקה תהיה אי שלילית(אין משמעות פיזיקלית לאכלוס מצב קוונטי במספר שלילי של חלקיקים), ניתן לקבל אילוץ על <math>\mu</math>. הפוטנציאל הכימי <math>\mu</math> חייב להיות קטן יותר מאנרגיית המצב הנמוך ביותר: <math>\mu<\epsilon_{min}</math>. לרוב מקובל להגדיר אנרגיה זו כאפס ולכן
[[קובץ:התפלגות בוז-אינשטיין ופרמי-דיראק בגבולות שונים.png|ממוזער|התפלגות בוז-
הפוטנציאל הכימי יאולץ להיות שלילי.
בטמפרטורות גבוהות
</math>
קירוב זה יניב את התוצאות המוכרות של [[גז אידיאלי|גז
== חישוב גדלים תרמודינמיים ==
שורה 82:
<math>\left\langle X \right\rangle=\int_{\epsilon=0}^{\infty}X(\epsilon) f(\epsilon, \tau ,\mu)D(\epsilon)d\epsilon</math>
צפיפות המצבים
ל 3D יכלל הפיתוח עצמו,
=== צפיפות מצבים ב3D ===
בכדי לפתור את הבעיה, ניתן להניח תנאי שפה
<math>\epsilon_{n_xn_yn_z}=\frac{\hbar ^2}{2m}\Bigl(\frac {\pi ^2} {V^{2/3}}\Bigl)^2(n_x^2+n_y^2+n_z^2)=\frac{\hbar ^2}{2m}\Bigl(\frac {\pi ^2} {V^{2/3}}\Bigl)^2n^2</math>
שורה 93:
מכאן שישנו [[ניוון (פיזיקה)|ניוון]] בבעיה - ישנם מספר קומבינציות של <math>n_x,n_y,n_z</math> עבורן לחלקיק אנרגיה זהה.
נגדיר פונקציית עזר <math>g(\epsilon)</math> שערכה יהיה מספר המצבים עד לרמת אנרגיה
<math>g(\epsilon)=(2S+1)\frac 1 8 \int_{\theta=0}^{\pi} d\theta \sin(\theta) \int_{\phi=0}^{2\pi} d\phi\int_{n=0}^{n_{\epsilon}}n^2 dn=(2S+1) \frac \pi 6 n_{\epsilon}^3</math>
שורה 116:
ניתן לראות שצפיפות המצבים קבועה ואינה משתנה עם האנרגיה.
בשני
=== צפיפות מצבים ב1D ===
שורה 139:
== גז בוזונים מנוון<ref>{{צ-ספר|מחבר=Stephen J. Blundell & Katherine M. Blundell|שם=Concepts in Thermal Physics|מקום הוצאה=|מו"ל=|שנת הוצאה=2010}}</ref>==
בטמפרטורות גבוהות התפלגות בוז איינשטיין תיצור אכלוס דליל - מספר החלקיקים הממוצע בכל מצב קוונטי קטן משמעותית מאחד. במצב זה כמעט ואין השפעה לכך שהגז מורכב מבוזונים - חלקיקים אשר אינם מצייתים לעיקרון האיסור של פאולי, לכן בתחום זה גז הבוזונים יתנהג כגז
=== ניתוח תרמודינמי של גז בוזונים מנוון באנסבל הגראנד קנוני ===
שורה 148:
! style="{{{עיצוב כותרת|}}}" |{{{כותרת|}}}פיתוח מתמטי של פונקציית החלוקה
|-
|{{{תוכן|}}}המטרה היא פיתוח פונקציית החלוקה הגראנד קנונית של מערכת בהנחה שהמערכת מורכבת מבוזונים ושקיימים בה אינסוף מצבים קוונטים כך שהאכלוס חלקיק ברמת <math>i</math> עולה
מהפיתוח שנעשה להתפלגות בוז-איינשטיין אנו יודעים שפונקציית החלוקה עבור מצב קוונטי
{{{תוכן|}}}<math>\xi_i=\frac 1 {1-e^{-n\beta(\epsilon_i - \mu)}}</math>
שורה 156:
{{{תוכן|}}}
{{{תוכן|}}}מכאן שעבור המערכת המורחבת (כלל מצבי האנרגיה),
{{{תוכן|}}}<math>\textstyle \prod_{i} \xi_i \displaystyle</math>
שורה 181:
פונקציית החלוקה של {{{תוכן|}}}גז{{{תוכן|}}} בוזונים באנסבל הגראד קנוני היא: <math>\xi=\prod_{i=1}^\infty\frac{1}{\Biggl(1-\exp(\beta(\epsilon_i-\mu))\biggr)^{2S+1}}</math>.
ממנה ניתן לקבל את הפוטנציאל ה[[פוטנציאל גראנד קנוני|פוטנציאל הגראנד קנוני]]
[[קובץ:התנהגות פונקציית הפולילוגריתם.png|ממוזער|התנהגות שת{{{תוכן|}}}{{{תוכן|}}}{{{תוכן|}}}{{{תוכן|}}}{{{תוכן|}}}{{{תוכן|}}}{{{תוכן|}}}י פונקציות הפולילוגריתם הקיימות במשוואה, טמפרטורות נמוכות מתאימות הן הגבול בו <math>z\equiv\exp(\beta\mu)</math> שואף לאחד ואילו טמפרטורות גבוהות מתאימות ל<math>z</math> שואף לאפס.]]
ומכאן את מספר החלקיקים והאנרגיה הכוללת:
שורה 190:
</math>
כאשר <math>\beta \equiv \frac{1}{\tau}</math> ן <math>z \equiv \exp(\beta\mu)</math> הוגדרו
<math>Li(z)</math> היא [[:en:Polylogarithm|פונקציית הפולילוגריתם]], <math>\lambda_{th}\equiv \frac h{\sqrt{2\pi m \tau}}</math> הוא אורך הגל הקוונטי האופייני לחלקיקים אלו.
שורה 202:
בטמפרטורות נמוכות ניתן לבצע קירוב של הפוטנציאל הכימי ועל כן לפשט את הביטויים למספר החלקיקים ולאנרגיה, קירוב זה יפורט ב"גז בוז בטמפרטורות נמוכות".
== גז בוז בטמפרטורות נמוכות - עיבוי בוז
פיתוח לטמפרטורות נמוכות ייעשה באמצעות שיקולים פיזקיליים על התפלגות בוז איינשטיין:
שורה 265:
=== דוגמה - הליום 4 ===
בכדי להמחיש את החישוב נתייחס כדוגמה להליום-4. אשר מורכב ממספר זוגי של חלקיקים בעלי ספין חצי שלם(פרמיונים) וככזה הוא עצמו בוזון (ספין שלם). על כן ניתן לקרב את התנהגותו באמצעות מודל גז הבוזונים. למעשה עכב זמינותו הגבוהה יחסית הפך הליום-4 לדוגמה מרכזית בעיבוי בוז איינשטיין ונוזליות על. יש לציין כי מידולו של נוזל ההליום כגז
בהצבת נתוני גז ההליום לפיתוח הנ"ל מתקבלת סקאלת אנרגיית הבעיה (ההפרש המינימלי בין רמות אנרגיה) אשר תתאים לטמפרטורה של <math>\frac{\Delta\epsilon}{k_B}\approx1.8\times10^{-14} K</math> בעוד שהטמפרטורה הקריטית שנמצאה היא: <math>T_c\approx3 K</math><ref>{{צ-ספר|מחבר=CHARLES KITTEL & HERBERT KROEMER|שם=Thermal Physics|מקום הוצאה=|מו"ל=|שנת הוצאה=|מהדורה=3|עמ=201}}</ref>, זו כמובן טמפרטורה גבוהה בכמה סדרי גודל, אשר כבר בה מספר מאקרוסקופי של החלקיקים עובר למצב היסוד האנרגטי, ולכן מתרחש מעבר הפאזה בטמפרטורות גבוהות יחסית - זוהי הסיבה שניתן לקבל תופעות אלו במעבדה, למרות שלא ניתן כיום לקבל טמפרטורות שקרובות לסקאלת האנרגיה של הבעיה בשל הקרבה ל[[האפס המוחלט|אפס המוחלט]].
== ראו גם ==
* [[גז אידיאלי|גז
* [[גז פרמי]]
* [[עיבוי בוז-איינשטיין]]
| |||