הרכבת פונקציות – הבדלי גרסאות

ובאופן פורמלי: אם <math>\ f</math> פונקציה מ-<math>\ X</math> ל-<math>\ Y</math> ו-<math>\ g</math> פונקציה מ-<math>\ Y</math> ל-<math>\ Z</math>, אז ההרכבה <math>\ g \circ f</math> (בסדר זה, קרי: <math>g</math> מורכבת על <math>f</math>) היא הפונקציה מ-<math>\ X</math> ל-<math>\ Z</math> המוגדרת לפי <math>\ (g \circ f)(x) = g(f(x))</math>. ההרכבה מוגדרת בתנאי שה[[תמונה של פונקציה|תמונה]] של הפונקציה הראשונה (<math>\ f</math>) מוכלת ב[[תחום הגדרה|תחום]] של הפונקציה השנייה (<math>\ g</math>).

התכונה החשובה ביותר של הרכבת פונקציות היא ה[[אסוציאטיביות]] של הפעולה: אם אפשר להרכיב את <math>\ h</math> על <math>\ g</math> ואת <math>\ g</math> על <math>\ f</math>, אז <math>\ h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f</math>. בזכות תכונה זו, והעובדה שלמערכות של פונקציות יש תפקיד מרכזי כל-כך במתמטיקה, מרבית הפעולות ב[[מבנה אלגברי|מבנים אלגבריים]], ובראשם ה[[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורות]], הם אסוציאטיביים. לדוגמה, אוסף כל הפונקציות מקבוצה <math>X</math> לעצמה הוא [[מונויד]]. פונקציה <math>f \colon X \to Y</math> שהיא [[פונקציה חד-חד-ערכית ועל]] היא '''[[פונקציה הפיכה|הפיכה]]''': קיימת <math>g \colon gY \to X</math> כך שההרכבות ש-<math>g \circ f = \operatorname{id}_X</math> וגם <math>f \circ g = \operatorname{id}_Y</math> ו-(דהיינו, ההרכבה <math>\ g \circ f</math> הןהיא [[פונקציית הזהות]] על <math>X</math>, ובנוסף ההרכבה <math>f \circ Xg</math> היא פונקציית הזהות על <math>Y</math>). למעשה, אם קיימת פונקציה <math>g</math> שכזו היא יחידה, ולכן מכונה "הפונקציה ההופכית של <math>f</math>" ולרוב מסומנת ב-<math>f^{-1}</math>.

הרוב המכריע של הפונקציות המופיעות בחישובים מדעיים מתקבלות כהרכבות של פונקציות יסודיות; הרכבות כאלה נקראות [[פונקציה אלמנטרית|פונקציות אלמנטריות]]. למשל, הפונקציה <math>\ f(x) = e^{\sin(x^2)}</math> היא ההרכבה <math>\f f= \mathord{\exp} \circ \mathord{\sin} \circ s</math> כאשר <math>\ s(x) = x^2</math> ו- <math>\ \exp(x) = e^x</math>.

ניתן לגון גם ב[[גבול של פונקציה|גבול]] של הרכבת פונקציות ממשיות: אם <math>f\,</math> ו-<math>g\,</math> פונקציות שעבורן <math>\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=y_0</math> וכן גם קיים הגבול <math>\lim_{y\rightarrow y_0} g(y)</math> (עבור <math>x_0,y_0</math> כלשהם), אז הגבול של הרכבת הפונקציות <math>g \circ f</math> כאשר <math>x \to x_0</math> קיים ושווה ל-<math>\lim_{x\rightarrow x_0} (g\circ f)(x) = \lim_{y\rightarrow y_0} g(y) = L</math>. אם מתקיים לפחות אחד משני התנאים הבאים, אז גם <math>g\left(\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)\right)=L</math> מתקיים: <math>g</math> [[פונקציה רציפה|רציפה]] ב-<math>y_0</math> (כלומר <math>L = g(y_0)</math>) או שקיימת סביבה מנוקבת של <math>x_0</math> שבה <math>f(x) \neq y_0</math>. שני תנאים אלו מספיקים אך לא הכרחיים.