פונקציית רימן – הבדלי גרסאות

[[תמונה:Thomae function (0,1).svg|200px|שמאל|ממוזער|פונקציית רימן בקטע <math>(0,1)</math>]]

'''פונקציית רימן''' (על שמו של ה[[מתמטיקאי]] הגרמני [[ברנהרד רימן]]) (או '''פונקציית הסרגל''') היא [[פונקציה ממשית]] שקבוצת נקודות אי-הרציפות שלה כוללת בדיוק את המספרים הרציונליים. הפונקציה מוגדרת בנקודות הרציונליות לפי <math>\ f\left(\frac{p}{q}\right) = \frac{1}{q}</math> (כאשר ה[[שבר מצומצם]], כלומר <math>p,q</math> [[מספרים זרים|זרים זה לזה]]), ומתאפסת בנקודות שאינן רציונליות. (ב-<math>\,x=0</math> ערך הפונקציה הוא <math>1</math>, כמו בכל מספר שלם).

נסדר את המספרים הרציונליים על הישר בסדרה <math>\{r_n\}_{n=1}^\infty </math>, ונגדיר <math>g: \colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> לפי <math>g(x)=\sum_{\{n|r_n<x\}}\frac{1}{2^n}</math>. כמו פונקציית רימן, הפונקציה המתקבלת רציפה בכל נקודה אי-רציונלית, ואינה רציפה בכל נקודה רציונלית. בנוסף, זוהי פונקציית מונוטונית עולה על הישר.

קבוצת נקודות אי-הרציפות של פונקציה ממשית היא קבוצת <math>\ F_{\sigma}</math> ( [[איחוד (מתמטיקה)|איחוד]] [[קבוצה בת מנייה|בן מנייה]] של [[קבוצה סגורה|קבוצות סגורות]]). מכיוון שקבוצת המספרים האי-רציונליים אינה כזאת, אין פונקציה שנקודות אי-הרציפות שלה הן הנקודות האי-רציונליות.

נוכיח שנקודות אי-הרציפות של הפונקציה הן כאמור לעיל. יהי <math>x</math> מספר רציונלי, אז <math>\ f(x) \neq 0</math>, אבל יש סדרה של מספרים אי-רציונליים המתכנסת ל-<math>x</math>, ועליהם הפונקציה מתאפסת לפי ההגדרה. מכאן ש-<math>x</math> היא נקודת אי-רציפות. כעת נניח ש-<math>x</math> אי-רציונלי, ויהי <math>\ \epsilon>0</math>. בקטע באורך יחידה סביב <math>x</math> יש רק מספר סופי של נקודות שבהן <math>\ f(t)\geq \epsilon</math> (משום שתנאי זה חוסם את המכנה), ולכן יש קטע סביב <math>x</math> שבו <math>\ |f(t)-f(x)| = f(t)<\epsilon</math> {{רווח|6}} ומכאן ש-<math>\ f</math> רציפה בנקודה x.