ויקיפדיה

לפלסיאן – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
פייר סימון לפלס ==> פייר-סימון לפלס
אין תקציר עריכה
שורה 7:
 
==הגדרה==
אופרטור לפלס הוא אופרטור דיפרנציאלי מסדר שני ב[[מרחב אוקלידי]] ''n''-ממדי, המוגדר כ[[דיברגנץ]] (<math>\nabla</math>) של ה[[גרדיאנט]] (<math>\vec{\nabla} f</math>). אם <math>\ f </math> היא פונקציה [[שדה המספרים הממשיים|ממשית]] [[נגזרת|הגזירה]] פעמיים, אז הלפלסיאן של <math>\ f </math> מוגדר על ידי
 
:<math>\Delta f=\nabla^2 f=\nabla \cdot \vec {\nabla} f </math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;(1)
 
באופן שקול, הלפלסיאן של ''f'' הוא סכום כל ה[[נגזרת חלקית|נגזרות החלקיות]] השניות הבלתי מעורבות ב[[קואורדינטות קרטזיות|קואורדינטות הקרטזיות]] <math>\ x_i</math>:
 
:<math>\ \Delta f=\sum_{i=1}^n \frac {\partial^2 f}{\partial x^2_i}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;(2)
שורה 18:
<math>\ C^\left( k-2 \right) </math>
עבור
<math>\ k\ge 2 </math>.
הביטויים לעיל מגדירים אופרטור
<math>\ \triangle : C^k \left( \mathbb{R}^n \right) \rightarrow C^{k-2} \left( \mathbb{R}^n \right) </math>,
או באופן כללי יותר אופרטור
<math>\ \triangle : C^k \left( \Omega \right) \rightarrow C^{k-2} \left( \Omega \right) </math>
לכל [[קבוצה פתוחה]] <math>\ \Omega </math>.
 
שורה 58:
:<math> \Delta f
={1 \over r} {\partial \over \partial r}
\left( r {\partial f \over \partial r} \right)
+ {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}
</math>
שורה 73:
:<math> \Delta f
={1 \over \rho} {\partial \over \partial \rho}
\left( \rho {\partial f \over \partial \rho} \right)
+ {1 \over \rho^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}
+ {\partial^2 f \over \partial z^2 }.
שורה 82:
:<math> \Delta f
={1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
\left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right)
+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
\left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right)
+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2}.
</math>
שורה 189:
 
במקרה המיוחד בו <math>T</math> הוא סקלר (טנזור מדרגה 0), נקבל את הלפלסיאן הסקלרי הרגיל.
אם <math>T</math> הוא וקטור (טנזור מדרגה 1), הגרדיאנט שלו הוא [[נגזרת קו-וריאנטית]] אשר תוצאה הפעלתה הוא טנזור מדרגה 2, והדיברגנץ של תוצאה זו הוא שוב וקטור. המשוואה ללפלסיאן הווקטורי לעיל עשויה לשמש על מנת להימנע מחשבון טנזורי וניתן להראות כי הוא שקולה לדיברגנץ של הגרדיאנט של הווקטור.
 
===שימושים בפיזיקה===
שורה 196:
:<math>\rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}+ ( \mathbf{v} \cdot \nabla ) \mathbf{v}\right)=\rho \mathbf{f}-\nabla p +\mu\left(\nabla ^2 \mathbf{v}\right)</math>
 
כאשר הביטוי הכולל את הלפלסיאן הווקטורי של שדה ה[[מהירות]] <math>\mu\left(\nabla ^2 \mathbf{v}\right)</math> מייצג את [[טנזור מאמצים|מאמץ]] ה[[צמיגות]] בנוזל.
 
דוגמה נוספת היא [[משוואת גלים|משוואת הגל]] ל[[שדה חשמלי|שדה החשמלי]] המופקת מ[[משוואות מקסוול]] בהיעדר מטענים וזרמים:
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/לפלסיאן"