סדרה מתכנסת – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ הוספת תבנית:MathWorld בקישורים חיצוניים (תג) (דיון) |
Bustan1498 (שיחה | תרומות) סידור |
||
שורה 1:
{{פירוש נוסף|נוכחי=סדרה שיש לה גבול|אחר=איבר הגבול של סדרה מתכנסת|ראו=[[גבול של סדרה]]}}
{{סימון מתמטי}}
'''סדרה מתכנסת''' היא [[סדרה]] שיש לה [[גבול של סדרה|גבול]], כלומר, איבריה הולכים ושואפים ל[[מספר]] כלשהו. הסדרה <math>
== סדרות מתכנסות במרחבים מטריים ==
למושג הסדרה המתכנסת תפקיד מרכזי באנליזה של [[מרחב מטרי|מרחבים מטריים]]. אומרים שסדרה <math>
את ההתכנסות של סדרה ממשית אפשר לאבחן גם ללא התייחסות ישירה לגבול: סדרה ממשית היא מתכנסת אם ורק אם היא [[סדרת קושי]]. התכונה הזו מלמדת הרבה על [[שדה המספרים הממשיים|מרחב המספרים הממשיים]]. אכן, סדרה מתכנסת היא סדרת קושי בכל מרחב מטרי, אבל ההפך לא תמיד נכון; למשל, סדרת קושי של מספרים רציונליים אינה מוכרחה להתכנס (במרחב המספרים הרציונליים). מרחב מטרי שבו כל סדרת קושי מתכנסת נקרא [[מרחב מטרי שלם]]. כל מרחב מטרי אפשר להשלים, כלומר לשכן באופן [[קבוצה צפופה|צפוף]] במרחב מטרי שלם.
שורה 11:
== התכנסות במרחבים טופולוגיים ==
את התנאי <math>
מרחב טופולוגי שבו לכל סדרה מתכנסת יש גבול יחיד נקרא '''מרחב-US'''. כפי האמור לעיל, כל מרחב מטרי מקיים את התכונה הזו, ובאופן יותר כללי, כל [[מרחב האוסדורף]] הוא מרחב-US. מאידך, כל מרחב-US מקיים את [[תכונת ההפרדה T1]]. למעשה, תכונת יחידות הגבול מתקיימת במשפחה מעט יותר כללית של מרחבים טופולוגיים: כל '''מרחב-KC'''{{הערה|מרחב-KC הוא מרחב טופולוגי שבו כל [[קבוצה קומפקטית]] היא [[קבוצה סגורה|סגורה]]}} הוא מרחב-US, וכל מרחב האוסדורף הוא מרחב-KC.
שורה 19:
=== רשתות מתכנסות ===
בסדרה, מותאמת נקודה של המרחב לכל מספר טבעי. ב[[רשת (טופולוגיה)|רשת]], מחליפה את קבוצת המספרים הטבעיים [[קבוצה מכוונת]]. ההגדרה נותרת בעינה: הרשת <math>
סדרה היא סוג של רשת, והסדרה מתכנסת (כסדרה) אם ורק אם היא מתכנסת כרשת, ולאותן נקודות גבול. לרשתות יתרונות רבים על-פני סדרות. לדוגמה, מרחב טופולוגי מקיים את תכונת האוסדורף אם ורק אם לכל רשת מתכנסת יש גבול יחיד.
|