שדה סגור אלגברית – הבדלי גרסאות

* אין לו [[הרחבה של שדות|הרחבה]] מ[[ממד]] סופי.

* לכל [[פולינום]] בעל מקדמים בשדה, יש פתרון.

* כל פולינום בעל מקדמים בשדה מתפצל לגורמים לינאריים.

 

 

'''דוגמה'''. [[שדה המספרים המרוכבים]] סגור אלגברית. זהו הסגור האלגברי של [[שדה המספרים הממשיים]]. הסגור האלגברי של [[שדה המספרים הרציונליים]] (ולכן של כל [[שדה מספרים]] אחר) נקרא [[שדה המספרים האלגבריים]].

 

ב[[גאומטריה אלגברית]], כאשר חוקרים מערכות משוואות מנקודת מבט גאומטרית, עובדים תמיד מעל שדה סגור אלגברית; גישה זו מסירה את ההפרעות האריתמטיות (שנובעות מאי-קיום שורשים לפולינומים או למערכות של פולינומים), ומותירה רק את האופי הגאומטרי שלהם. לדוגמה, כאשר עוסקים במספרים רציונליים, הקו הישר <math>\ y=x</math> אינו נחתך עם המעגל <math>\ x^2+y^2=1</math> (משום שנקודות החיתוך <math>\ x=y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}</math> אינן רציונליות). שתי נקודות החיתוך מופיעות כאשר עוברים לסגור האלגברי.