משפט קיילי – הבדלי גרסאות

לפי משפט קיילי, אפשר לשכן חבורה מסדר n כתת-חבורה של החבורה הסימטרית <math>\ S_n</math>. ההוכחה מבוססת על [[פעולת חבורה|פעולה נאמנה]] הנקראת "הפעולה הרגולרית של החבורה על עצמה" (ראו [[משפט קיילי#הוכחת המשפט|להלן]]).

למשפט יש הכללה חשובה, הידועה בשם ה'''עידון של משפט קיילי''': אם ל- <math>\ G</math> יש תת-חבורה <math>\ H</math> מאינדקס <math>\ n</math>, אז יש העתקה <math>\ G\rightarrow S_n</math> שה[[גרעין (אלגברה)|גרעין]] שלה מוכל ב- <math>\ H</math>. נובע מזה שלחבורה עם תת-חבורה מאינדקס <math>\ n</math> מוכרחה להיות [[תת חבורה נורמלית]] מאינדקס המחלק את <math>\ n!</math>, כי אנחנו נקבל לפי משפט [[משפטי האיזומורפיזם|האיזומורפיזם]] הראשון ש -<math>G/ker(\psi )\cong Im(\psi)\leq S_n</math>. בפרט: אם נסתכל על [[חבורה פשוטה|החבורות הפשוטות]] ,שהן לא צקליות מסדר ראשוני, מכיוון ש -<math>ker(\psi)\triangleleft G</math> אז הגרעין טריוויאלי, ולכן נקבל<math>G\cong Im(\psi)\leq S_n</math> ,(כי אם <math>ker(\psi) \cong G </math> אז <math>H</math> נורמלית ולכן טריוויאלית, והטענה טריוויאלית ) אם <math>G</math> מסדר שאינו מחלק את <math>\ n!</math>, אז <math>G\cong Im(\psi)\leq S_n</math> לא יכול להתקיים, ולכן אין תת-חבורות מאינדקס קטן מ-<math>n</math>.

אזאת <math>G\congהעידון Im(\psi)\leqמוכיחים S_n</math>בעזרת הפעולה לאשל יכול להתקיים, ולכן אין תת-חבורות מאינדקס קטן מ-<math>\ nG</math>. את העידון מוכיחים בעזרת הפעולה של G על אוסף המחלקות <math>\ G/H</math> (גם כאשר אוסף זה אינו [[חבורת מנה]]), על ידי כפל משמאל: <math>\ g : xH \mapsto gxH</math>. הפעולה הזו אינה בהכרח [[פעולת חבורה|נאמנה]]: אוסף האיברים הפועלים [[פעולת חבורה|טריוויאלית]] שווה לחיתוך כל תת-החבורות הצמודות ל- <math>H</math>, אוסף זה נקרא [[ליבה (תורת החבורות)|הליבה]] של <math>H</math>.

נבחר את החבורה <math>\ G= \mathbb{Z}_4</math> ונשכן אותה ב-<math>\ S_4</math> ,כלומר נמצא [[תת חבורה]] של <math>\ S_4</math> ש[[איזומורפיזם|איזומורפית]] ל-<math>\ G</math>.

נגדיר העתקה <math>\ \varphi :\mathbb{Z}_4\rightarrow S_4</math>.

תהא <math>\ G</math> חבורה סופית מסדר <math>\ n</math>. יש לבנות הומומורפיזם מ- <math>G</math> אל החבורה הסימטרית <math>\ S_n</math>. לשם כך, מספיק להתאים לכל איבר של <math>G</math> תמורה על האיברים של <math>G</math> עצמה (אפשר לזהות את התמורות על <math>G</math> עם התמורות על כל קבוצה אחרת באותו גודל, על ידי התאמה של האיברים זה לזה). במלים אחרות, יש לבנות פונקציה <math>\ \phi : G \rightarrow S_G</math>, כאשר <math> \ S_G</math> היא אוסף התמורות על <math>G</math>. את התמורה <math>\ \phi(g) : G \rightarrow G</math> מגדירים לפי כפל משמאל: <math>\ (\phi(g))(x) = gx</math>. זוהי תמורה, משום שאם <math>\ gx=gy</math>, אז <math>\ x=y</math> (שהרי <math>G</math> חבורה, וכל איבריה הפיכים). בנוסף לזה, פעולת <math>\ \phi(gh)</math> על איבר <math>x</math> שווה ל- <math>\ (\phi(gh))(x) = (gh)x</math>, וזה שווה ל-<math>\phi(g)(\phi(h)(x)) = \phi(g)(hx) = g(hx)</math>, בגלל האסוציאטיביות של <math>G</math>. לבסוף, אם <math>\phi(g)=\phi(h)</math> אז גם <math>g = \phi(g)(1) = \phi(h)(1) = h</math>, ולכן <math>\phi</math> חד-חד-ערכית.