מידת לבג – הבדלי גרסאות

'''מידת לבג''' היא [[פונקציית מידה]] על [[שדה המספרים הממשיים]] שמהווה [[הכללה (מתמטיקה)|הכללה]] של מושג ה[[אורך]] (אפשר להכליל מידת לבג של [[נפח]] על המרחב <math>\mathbb{R}^n</math> ). באמצעות מידת לבג אפשר להרחיב מושגים מהאנליזה הממשית, הבולט שבהם הוא ה[[אינטגרל]].

'''מידת לבג''' (Lebesgue) היא [[פונקציית מידה]] המוגדרת על אוסף הקבוצות המדידות ב[[שדה המספרים הממשיים|ישר הממשי]] ומחזירה לכל קטע את ה[[אורך]] שלו. מידת לבג מסומנת באות <math>m </math>.

* מידת לבג אינווריאנטית תחת [[הזזה]]: אם <math>A</math> מדידה, אזי <math>A+c</math> מדידה ו <math>\ m(A) = m(A+c)</math>.

יהי <math>\ [a,b) \subset \mathbb{R}</math> [[קטע]] ([[אינטרוול]]) ממשי. אזיאז האורך שלו,אורכו הוא <math>\ lell[a,b) = | [a,b) | = b - a</math> . הגדרת האורך טובה לכל קטע - [[קבוצה סגורה|סגור]] או [[קבוצה פתוחה|פתוח]] באחד או שניים מקצותיו.

::: <math>\ m^* (A \subset \mathbb{R} ) = \inf \left\{ \sum_{n}{|I_n|} \ \ : \ \ A \subset \bigcup_{n}{I_n} \ \ \mbox{and} \ I_n \mbox{ are intervals} \right\} </math>

כלומר, פונקציה זו מחזירה את ה[[אינפימום]] על קבוצת סכומי הארכים של [[קטע (מתמטיקה)|קטעים]] המכסים את <math>A </math>.

קל לראות שהמידה החיצונית היא [[סיגמא-חצי-אדיטיבית]] (כלומר, <math>\ m^* ( \bigcup_{n}{A_n} ) \le \sum_{n} m^* (A_n)</math> ).

קבוצה <math>A </math> נקראת מדידה אם לכל קבוצה <math>B מתקיים </math>\ מתקיים <math>m^*(B) =m^*(A \cap B) + m^*(B - A) </math>.

על הקבוצות המדידות, <math>\ m(A) = m^*(A)</math> וזו '''מידת לבג'''.

* כל [[איחוד (מתמטיקה)|איחוד]] [[קבוצה בת מנייה|בן מנייה]] של קבוצות סגורות ( <math>\ F_{\sigma}</math>) הוא קבוצה מדידה.

* כל [[חיתוך (מתמטיקה)|חיתוך]] [[קבוצה בת מנייה|בן מנייה]] של קבוצות פתוחות ( <math>\ G_{\delta}</math>) הוא קבוצה מדידה.

רוב תת-הקבוצות של הישר אינן מדידות, אך בנייה מפורשת של קבוצה לא מדידה אינה פשוטה. ניתן לבנות קבוצה לא מדידה למשל על ידי הגדרת יחס שקילות על נקודות הקטע <math>\ [0,1)</math>: <math>x \sim y \Leftrightarrow x-y \in \mathbb{Q}</math>. קל לראות שהיחס <math>\sim</math> הוא [[יחס שקילות]] שמפצל את הקטע למחלקות שקילות בנות [[אלף אפס|אָלֶף אֶפֶס]] איברים כל אחת. נבנה קבוצה <math>\ A</math> שמורכבת מנציג אחד עבור כל מחלקת שקילות (לשם כך נדרשת [[אקסיומת הבחירה]]). כל הזזה במספר רציונלי (כאשר נתייחס לקטע כ[[מעגל היחידה]]) מספקת קבוצה נוספת של נציגים שזרה לכל האחרות, ואיחוד כל ההזזות הוא בחזרה קטע היחידה. אם הקבוצה <math>\ A</math> הייתה מדידה אז גם הזזותיה היו כן, והמידה שלהן הייתה זהה לשלה. לכן, בין אם מידתה הייתה אפס ובין אם היא הייתה חיובית, הדבר עומד בסתירה לסיגמא-אדיטיביות של המידה.

את מידת לבג אפשר להכליל בקלות למרחב <math>\ \mathbb{R}^n</math> ובכך להכליל את מושג ה"היפר-נפח": [[אורך]] (<math>n=1 </math>), [[שטח]] (<math>n=2 </math>), ה[[נפח]] (<math>n=3 </math>) וכו'. תהליך הבניה זהה לחלוטין, רק שבמקום בקטעים משתמשים ב[[תיבה (גאומטריה)|היפר-תיבות]] ([[מכפלה קרטזית]] של קטעים עם קצוות תחתונים סגורים וקצוות עליונים פתוחים) <math>\ I_n = \prod_{k=1}^{n}{ [a_k , b_k )} </math>, ומגדירים נפח על [[חוג (מתמטיקה)|חוג]] התיבות באמצעות <math>\ v ( I_n) = \prod_{k=1}^{n}{| b_k - a_k |}</math>. מכאן, מגדירים מידה חיצונית ומצמצמים אותה על אוסף כל הקבוצות המדידות הנוצרת על ידי חוג התיבות. במקרה זה, קבוצה <math>A </math> נקראת מדידה רק אם לכל <math>\varepsilon > 0</math> קיימת קבוצה <math>B </math> בחוג התיבות כך ש <math>\ m( A \operatorname{\Delta} B) < \varepsilon</math> כאשר <math>\Delta</math> מסמל [[הפרש סימטרי]] של קבוצות.

* מידת לבג מאפשרת לחשב מידות של קבוצות מוזרות. למשל:, המידה של [[קבוצת קנטור]] היא <math>0 </math> אף על פי שהיא איננה בת-מנייה (למעשה, [[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמתה]] היא <math>\aleph</math> ).