|
א
[[קובץ:Irrational numbers-7.png|ממוזער|250px|מספרים אי-רציונליים]]
{{סימון מתמטי}}
'''מספר אי רציונלי''' הוא [[מספר ממשי]] שאינו [[מספר רציונלי]], כלומר שלא ניתן להציגו כמנה של שני [[מספר שלם|מספרים שלמים]]. כל מספר ממשי הוא רציונלי או אי-רציונלי (אך לא שניהם גם יחד). לעיתים קשה לקבוע לאיזו משתי ה[[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצות]] משתייך מספר מסוים (ראו, למשל, [[קבוע אוילר]]).
בהצגה של מספר אי-רציונלי כ[[שבר עשרוני]] יש מימין לנקודה מספר אינסופי של ספרות, ללא מחזוריות כלשהי, ולכן ביכולתנו לרשום רק מספר סופי של הספרות הראשונות שמימין לנקודה (ברמת ה[[דיוק]] הרצויה לנו), ואת ההמשך לסמן ב[[שלוש נקודות]] (למשל: <math>\ \pi = 3.141592...</math>).
==גילוי המספרים האי-רציונליים==
ההתייחסות למספרים לא רציונליים כגון שורש 2 הופיעה בתרבויות קדומות שונות כחלק מחקירת צורות גאומטריות, אך גילוי המספרים האי-רציונליים, כלומר זיהוי ייחודיותם, מיוחס לכת ה[[פיתגוראים]]. נהוג לייחס את הגילוי הראשון של מספר אי-רציונלי, שורש 2, לתלמיד של [[פיתגורס]], [[היפאסוס]]. קיומם של המספרים האי-רציונליים היה מכה קשה לפילוסופיה הפיתגוראית שהחזיקה באמונה ביופיים ושלמותם של המספרים ובכך שכל תופעה ניתנת לתיאור באמצעות הרמוניות בין מספרים טבעיים (כלומר, יחסים שהם מספרים רציונליים); היפאסוס נהרג בטביעה, הנחשבת כהוצאה להורג בידי חבריו לכת הפיתגוראית.{{הערה|ראו, יעל נוריק, [http://davidson.weizmann.ac.il/online/mathcircle/articles/מספרים-ושורשים-אי-רציונליים מספרים ושורשים אי-רציונליים], באתר מכון דוידסון לחינוך מדעי.}} ברם, בסופו של דבר הגילוי הוביל להגדרה וחקירה של מספרים אי-רציונליים. במסגרת החקירה זיהו היוונים מספר רב של מספרים שאינם רציונליים, גילו מאפיינים שונים שלהם ופיתחו שיטות שונות להתייחסות וטיפול בהם. [[תיאודורוס מקירנה]] {{אנ|Theodorus of Cyrene}} בן המאה הרביעית לפני הספירה, הוכיח (לפי [[פרוקלוס]] {{אנ|Proclus}}) שהשורשים של המספרים השלמים מ-2 עד 17 (למעט 4,9,16, כמובן) אינם רציונליים.{{הערה|[[שבתאי אונגורו]], "מבוא לתולדות המתמטיקה" חלק א'}} אחת התגליות של היוונים הייתה זו שכל [[שורש ריבועי]] של מספר טבעי שאינו מהווה מספר שלם הוא מספר אי-רציונלי.{{הערה|הספר העשירי ב'''[[יסודות (ספר)|יסודות]]''', חיבורו המתמטי של [[אוקלידס]], עוסק בקטעים ללא מידה משותפת - דרכם של הקדמונים לומר שיחס בין קטעים הוא מספר אי רציונלי - ובו ההוכחה המפורסמת ש[[השורש הריבועי של 2]] אינו רציונלי. ממשפט X.9 בספר אפשר להסיק שהשורש של מספר שלם, אם אינו שלם בעצמו, הוא אי-רציונלי.}}
ייסוד תורת המספרים האי-רציונליים מיוחסת ל[[אאודוקסוס מקנידוס]].{{הערה|"תורת המספרים האי-רציונליים הומצאה על ידי [[אאודוקסוס מקנידוס|אודוקסוס]] בערך בשנת 370 לפנה"ס. ראו, [[איאן סטיוארט (מתמטיקאי)|איאן סטיוארט]], '''לאלף את האינסוף: סיפורה של המתמטיקה''', עמוד 28.}} חקירה מעמיקה של יחסים רציונליים ואי-רציונליים הוצגה על ידי [[אוקלידס]], הנודע מבין הגאומטריקנים היוונים, בספר ''[[יסודות (ספר)|יסודות]]'', הנחשב לפסגת הישגיו. בין החוקרים המודרניים יש התופסים את ''יסודות'' כספר שיעדו המרכזי הוא העיסוק בתורת המספרים האי-רציונליים.{{הערה|תפיסה שכזו מציג דוד פאולר בספרו, '''המתמטיקה של האקדמיה של אפלטון'''.}}
==דוגמאות==
הדוגמה הקלה והמפורסמת ביותר למספר אי-רציונלי היא [[השורש הריבועי של 2|שורש 2]], שהוא מספר ממשי השווה לאורך האלכסון של ריבוע שצלעו יחידה אחת (ראו [[משפט פיתגורס]]). ה[[הוכחה]] שמספר זה אינו רציונלי היא [[הוכחה בדרך השלילה|בדרך השלילה]]:
:נניח כי <math>\sqrt{2}</math> הוא מספר רציונלי, כלומר קיימים שני מספרים שלמים [[מספרים זרים|זרים]] (מספרים שהמספר היחיד שמחלק את שניהם הוא 1) <math>m,n</math> שמקיימים <math>\sqrt{2}=\tfrac{m}{n}</math> (כל מספר רציונלי ניתן להצגה בצורה זו, שהרי מספרים שאינם זרים ניתן לצמצם). כעת נעלה בריבוע את שני אגפי המשוואה ונקבל <math>\tfrac{m^2}{n^2}=2</math>, ולכן <math>m^2=2n^2</math>.
:צד ימין של המשוואה הוא מספר זוגי (כי הוא מתחלק ב-2), ולכן גם צד שמאל של המשוואה הוא מספר זוגי, כלומר <math>m^2</math> הוא מספר זוגי. ריבוע של מספר הוא זוגי אם ורק אם המספר עצמו הוא זוגי (כי מכפלה של שני מספרים אי זוגיים היא אי זוגית, ובפרט ריבוע של מספר אי זוגי הוא אי זוגי), כלומר קיים מספר שלם <math>k</math> כך שמתקיים <math>m=2k</math>. מטענה אחרונה זו נגזר כי <math>2n^2=4k^2</math>, כלומר <math>n^2=2k^2</math>, הוא מספר זוגי, ומכאן שגם <math>n</math> הוא מספר זוגי.
:קיבלנו כי <math>m</math> וגם <math>n</math> הם מספרים זוגיים, ולכן אינם זרים (שניהם מתחלקים ב-2). ההנחה כי <math>\sqrt{2}</math> הוא מספר רציונלי הובילה אותנו לסתירה, ולכן אינה נכונה, כלומר <math>\sqrt{2}</math> הוא מספר אי-רציונלי.{{ש}}
הוכחה זאת עובדת לכל מספר [[חופשי מריבועים]]. כדי להוכיח עבור מספר טבעי שאינו ריבועי אך גם אינו חופשי מריבועים, יש לפרק אותו למכפלה של מספר ריבועי ומספר חופשי מריבועים. מכפלת השורשים של מספרים אלו היא השורש של המספר המקורי; זוהי מכפלה של מספר רציונלי במספר אי-רציונלי, הנותנת מספר אי-רציונלי.
דוגמה נוספת למספרים אי-רציונליים מתייחסת לפונקציית [[לוגריתם|לוג]] (<math>log</math>): לכל שני מספרים ראשוניים שונים, p ו-q, המספר <math>\ \log_q p = \tfrac{\log(p)}{\log(q)}</math> אינו רציונלי, משום שאם היחס היה רציונלי, אפשר היה לכתוב <math>\ \tfrac{\log(p)}{\log(q)} = \tfrac{a}{b}</math> עבור a ו-b שלמים, אבל אז <math>\ p^b = q^a</math>, וזה בלתי אפשרי.
דוגמה אחרת למספר אי רציונלי היא המספר [[פאי|π]] (פאי), שהוא היחס בין היקף ה[[מעגל]] לקוטרו. ערכו הוא <math>\ 3.14159265...</math>, קרוב ל- <math>\ \tfrac{355}{113} = 3.14159292...</math>, אך הוכח שאין שני מספרים שלמים שחלוקתם זה בזה תיתן את ערכו המדויק של π.
מספרים אי-רציונליים מפורסמים נוספים הם [[℮ (קבוע מתמטי)|e]] ו[[יחס הזהב]].
כל [[מספר טרנסצנדנטי]] (מספר שאינו [[מספר אלגברי|אלגברי]]) הוא אי-רציונלי. ההפך אינו בהכרח נכון. למשל <math>\sqrt{2}</math> ויחס הזהב הם מספרים אלגבריים אי-רציונליים.
אף שמספרים אי-רציונליים נפוצים פחות בחיי היום-יום, ניתן להראות כי [[כמעט כל]] המספרים הם אי-רציונליים. זאת משום ש[[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמת]] המספרים הרציונליים היא <math>\aleph_0</math> בעוד עוצמת המספרים האי-רציונליים היא <math>\!\, \aleph</math> (ראו [[האלכסון של קנטור]]).
==מספר אי-רציונלי בחזקת מספר אי-רציונלי==
מספר אי-רציונלי ב[[חזקה (מתמטיקה)|חזקת]] מספר אי-רציונלי יכול להיות רציונלי. [[הוכחה לא קונסטרוקטיבית]] לכך{{הערה|1= Jarden, D., Curiosa No. 339, Scripta Mathematica 19 (1953), p.229 {{אנגלית}}}} ניתנת על ידי הצגת המספר <math>\sqrt{2}^\sqrt{2}</math> והמספר <math>(\sqrt{2}^\sqrt{2})^\sqrt{2}=2</math>. קל לראות שהראשון הוא מספר אי-רציונלי בחזקת אי-רציונלי ושהשני הוא מספר שלם ולכן רציונלי. מכאן נובע שלפחות אחד מהשניים מראה כי הטענה הנ"ל נכונה, שכן אם המספר הראשון הוא רציונלי אז סיימנו, אחרת השני הוא אי-רציונלי בחזקת אי-רציונלי שתוצאתו רציונלית ועל כן סיימנו.
לדוגמה זו בפרט ניתן להוכיח כי <math>\sqrt{2}^\sqrt{2}</math> הוא טרנסצנדנטי תוך שימוש ב[[משפט גלפונד-שניידר]] האומר כי אם <math>a</math> הוא אלגברי שאינו <math>0</math> או <math>1</math> ו-<math>b</math> הוא מספר אלגברי אי-רציונלי, אז <math>a^b</math> הוא טרנסצנדנטי.{{הערה|1=[http://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/30002.3-5.shtml Rational Irrational Power], Math Fun Facts {{אנגלית}}}}
==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld}}
* {{בריטניקה}}
==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}
{{מספרים אי-רציונליים}}
{{מערכות מספרים}}
[[קטגוריה:תורת המספרים]]
| 