משפט סטוקס – הבדלי גרסאות

===משפט גאוס===

מסקנה שימושית של משפט סטוקס ב־<math>\mathbb{R}^3</math> היא [[משפט גאוס]] (הידוע גם כמשפט הדיברגנץ): <math>\iiint_V(\vec\nabla\cdot\vec F )\,\mathrm{d}V=\iint\limits_{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset\!\supset\vec F\cdot \mathrm{d}\hat n</math>, כאשר <math>V</math> הוא נפח ב־<math>\mathbb{R}^3</math>, <math>S=\partial V</math> היא המעטפת הכולאת אותו, ו־<math>\hat n</math> הוא וקטור נורמלי למשטח <math>S</math>. האגף השמאלי הוא [[אינטגרל נפחי]] של ה[[דיברגנץ]] של <math>\vec F</math> על הנפח <math>V</math>, ואגף ימין הוא אינטגרל משטחי של ה[[שטף]] של <math>\vec F</math> דרך <math>S</math>. גם צורה זו של משפט סטוקס מופיעה במשוואות מקסוול, בחוק הנקרא [[חוק גאוס]].

[[משפט הגרדיאנט]] הוא הכללה של נוסחת ניוטון לייבניץ ואומר שאם <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{R}^n</math> מסילה גזירה ו- <math>f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math> פונקציה סקלרית דיפרנציאבילית אזי:{{ש}}

<math>\int_\gamma (\vec{\nabla} f)\cdot \vec{\mathrm{d}r}=f(\gamma(b))-f(\gamma(a))</math>