מתמטיקה של קיפולי נייר – הבדלי גרסאות

קיימות בעיות מתמטיות רבות הנובעות מאמנות האוריגמי, וחלקן טרם נפתרו. למשל, '''בעיית הקיפול השטוח''', הבוחנת את אפשרות הקיפול של דגם דו-ממדי על פי תבנית קפלים נתונה. בעיה זו היא [[מחלקת סיבוכיות NPC|בעיה NP שלמה]]{{הערה|1=Marshall Bern and Barry Hayes, [http://graphics8.nytimes.com/packages/blogs/images/BernHayes-1.origami.SODA96.pdf '''The complexity of flat origami'''], Proceedings of the seventh annual ACM-SIAM symposium on Discrete algorithms, 175 - 183, 1996|כיוון=שמאל=כן}}{{הערה|1=Jonathan Schneider, [http://www.sccs.swarthmore.edu/users/05/jschnei3/origami.pdf#search=%22flat-foldability%22 '''Flat-Foldability of Origami Crease Patterns'''], Swarthmore College Computer Society ,2004|שמאלכיוון=כןשמאל}}. בעיה אחרת, בעלת חשיבות מעשית רבה, היא בעיית "האוריגמי הקשיח", הבוחנת אפשרות יצירת דגמים מיחידות נוקשות שמחוברות ביניהן בצירים. לפתרון בעיה זו שימושים רבים ב[[אדריכלות]] וב[[הנדסה]].

בבסיס החקר המתמטי של האוריגמי עומדות שבע [[אקסיומה|אקסיומות]] המגדירות את הפעולות ה[[גאומטריה|גאומטריות]] האפשריות בתהליך הקיפול. שש האקסיומות הראשונות פורסמו ב-[[1992]] על ידי המתמטיקאי היפני-[[איטליה|איטלקי]], [[הומיאקי הוזיטה]]{{הערה|1=Humiaki Huzita, '''Understanding Geometry through Origami Axioms''', Proceedings of the First International Conference on Origami in Education and Therapy, J. Smith ed., British Origami Society, 1992, pp. 37-70|שמאלכיוון=כןשמאל}}. אקסיומה שביעית המשלימה את שש האקסיומות של הוזיטה נוסחה על ידי המתמטיקאי [[קושירו האטורי]]. בניסוח האקסיומות, כל שני אובייקטים מוגדרים להיות שונים (כלומר אם נאמר "בהינתן שתי נקודות", יש לקרוא זאת כ"בהינתן שתי נקודות שונות זו מזו"):

בסיס תאורטי זה מאפשר תכנון של דגמי אוריגמי מורכבים על גבי [[מחשב]], פתרון משוואות ובעיות גאומטריות בעזרת אוריגמי ועוד{{הערה|1=Roger C. Alperin, [http://nyjm.albany.edu:8000/j/2000/6-8.pdf '''A Mathematical Theory of Origami Constructions and Numbers'''], New York Journal of Mathematics, '''6''':119-133, 2000|שמאלכיוון=כןשמאל}}. לדוגמה, כך אפשר למצוא את השורש השלישי של מספר <math>\ a</math> באמצעות קיפולי נייר: ציירו [[מערכת צירים]] מאונכת על הדף; סמנו את הנקודות <math>\ (0,2)</math> ו- <math>\ (a,1)</math>. כעת הפעילו את האקסיומה השישית כדי למקם את הנקודה הראשונה על ציר ה- x, ואת הנקודה השנייה על הישר <math>\ x=-a</math>. שיקוף כזה (דרך הקו המקווקו באיור משמאל) מעתיק את הנקודה <math>\ (0,2)</math> לנקודה שמרחקה מראשית הצירים בדיוק <math>\ 2\sqrt[3]{a}</math>.

הפעולות המתוארות באקסיומות 1–5 ו-7 ניתנות לביצוע גם באמצעות [[בניה במחוגה וסרגל|מחוגה וסרגל]]: הן מתארות, בקירוב, העברת קו בין שתי נקודות (1), העברת [[אנך אמצעי]] (2), העברת [[חוצה זווית]] (3), הורדת [[אנך]] (4), העברת [[משיק]] ל[[פרבולה]] דרך נקודה נתונה (5), והעברת ישר [[ישרים מקבילים|מקביל]] (7). האקסיומה הנותרת, 6, מאפשרת למצוא משיק משותף לשתי פרבולות, פעולה השקולה לפתרון [[משוואה ממעלה שלישית]] (ולכן גם [[משוואה ממעלה רביעית|רביעית]]{{הערה|1=אפשר להגיע אל הפתרונות של משוואה ממעלה רביעית באמצעות שלוש פעולות של [[הוצאת שורש ריבועי]] ופעולה אחת של הוצאת שורש שלישי}}); לעומת זאת, במחוגה וסרגל אפשר לפתור רק [[משוואה ריבועית|משוואות ריבועיות]].