משתנה מקרי – הבדלי גרסאות

מבחינה פורמלית, המשתנה המקרי הוא [[פונקציה ממשית|פונקציה]] [[פונקציה מדידה|מדידה]] ממרחב הסתברות <math>\ \Omega</math>ל[[מרחב מדיד]] כלשהו, בדרך כלל [[הישר הממשי|המספרים הממשיים]] עם [[סיגמא-אלגברה|ה-σ-אלגברה]] של [[קבוצת בורל|בורל]]. במקרה כזה המשתנה המקרי נקרא '''משתנה מקרי ממשי'''. הדרישה שהפונקציה מדידה מבטיחה שאפשר יהיה לחשב את ההסתברות למאורעות <math>\ a<X<b</math>, כלומר <math>\ \{\omega \in \Omega : a<X(\omega)<b\}</math>.כאשר מרחב ההסתברות הוא [[מרחב מדיד בדיד|בדיד]], כל הפונקציות ממנו מדידות, ולכן כל פונקציה יכולה להיחשב משתנה מקרי.

אם נתון משתנה מקרי <math>\ X : \Omega \to \mathbb{R}</math> המוגדר על מרחב ההסתברות <math>\ (\Omega ,P)</math>, אפשר לשאול שאלות כמו "מה הסיכוי שהערך <math>\ X</math> גדול מ-2?". זו ההסתברות של המאורע <math>\ \left\{ \omega \in \Omega : \ X(\omega) > 2 \right\} </math> הנכתבת בקיצור <math>\ P(X > 2) </math>.

ההסתברויות של כל טווחי התוצאות של משתנה מקרי ממשי <math>\ X</math> נותנות את ה[[התפלגות הסתברות|התפלגות]] של <math>\ X</math>. ההתפלגות "מתעלמת" ממרחב ההסתברות המסוים שמשמש בהגדרה של <math>\ X</math> ונותנת רק את ההסתברות של ערכים שונים של <math>\ X</math>. התפלגות כזו ניתנת להצגה תמיד בעזרת [[פונקציית הצטברות|פונקציית הצטברות ההסתברות]] שלה

: <math>\ F_X(x) = P( X \le x) </math>

ולעיתים גם בעזרת [[פונקציית צפיפות הסתברות]] (השווה לנגזרת של פונקציית הצטברות ההסתברות בכל נקודה בה קיימת הנגזרת). במונחי [[תורת המידה]], אנו משתמשים במשתנה המקרי <math>\ X</math> כדי לדחוף ("push forward") את המידה <math>\ P</math> על <math>\ \Omega</math>, למידה <math>\ F</math> על הממשיים. מרחב ההסתברות המקורי <math>\ \Omega</math>, הוא מכשיר טכני להבטחת קיומם של משתנים מקריים, ולפעמים לבנייתם. בפועל, לעיתים קרובות נפטרים לגמרי מהמרחב <math>\ \Omega</math>, ופשוט מגדירים מידה על הממשיים כך שמידת הישר הממשי כולו תהיה 1, כלומר עובדים עם התפלגויות במקום עם משתנים מקריים.

אם נתון משתנה מקרי <math>\ X</math> על <math>\ \Omega</math>, ו[[פונקציה מדידה]] <math>\ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, אז <math>\ Y = f(X)</math> יהיה גם הוא משתנה מקרי על <math>\ \Omega</math>, כיוון שהרכבה של פונקציות מדידות היא פונקציה מדידה. אותו תהליך שמאפשר לעבור ממרחב ההסתברות <math>\ (\Omega ,P)</math> ל-<math>\ (R ,dF_{x})</math> יכול לשמש לקבלת ההתפלגות של <math>\ Y</math>. פונקציית הצטברות ההסתברות של ''Y'' היא

: <math>\ F_Y(y) = \mbox{P}( f(X) \le y ) </math>.

יהי <math>\ X</math> משתנה מקרי ונגדיר <math>\ Y = X^2</math> משתנה מקרי חדש. אז <math>\ F_Y (y) = \mbox{Prob}( Y \le y) = \mbox{Prob}( X^2 \le y)</math>. אם '' y < 0 '' אזי ברור ש <math>\ \mbox{Prob}( Y \le y) = 0</math>. {{ש}}

אם <math>\ y \ge 0</math> אז <math>\ F_Y (y) = \mbox{Prob}( X^2 \le y) = \mbox{Prob}( -\sqrt{y} \le X \le \sqrt{y}) = F_X(\sqrt{y}) - F_X(-\sqrt{y}) </math>.

התוחלת של משתנה מקרי <math>\ X</math> שפונקציית הצטברות ההסתברות שלו <math>\ F </math> היא:

:<math>\int_{-\infty}^\infty x \ f(x)\, dx </math>

'''המומנט''' מסדר <math>\ n </math> (או המומנט ה-<math>\ n </math> ) של משתנה מקרי <math>\ X </math> סביב הנקודה (או המספר) <math>\ a </math> הוא התוחלת של המשתנה המקרי <math>\ (left|X-a)\right|^n </math>. התוחלת של משתנה מקרי היא המומנט מסדר <math> 1 </math> שלו סביב ה-<math> 0 </math>.

התוחלת היא פונקציה ליניארית, אולם <math>\ \mbox{E}f(X)</math> אינו שווה בהכרח ל-<math>\ \ f(\mbox{E}X)</math> כאשר f פונקציה כללית יותר.

אחרי שמוצאים את "הערך הממוצע", אפשר לשאול עד כמה ערכי <math>\ X</math> רחוקים ממנו. תשובה מספרית מקובלת ניתנת על ידי [[סטיית תקן|סטיית התקן]] (שהיא השורש הריבועי של ה[[שונות]]) של המשתנה המקרי. קיימים ערכים רבים אחרים היכולים לתת תשובה לשאלה, למשל, כל אחד מן המומנטים מסדר זוגי של המשתנה המקרי סביב התוחלת וכן ממוצע הערכים המוחלטים של הסטיות מן הממוצע (התוחלת של המשתנה המקרי <math>\ |X-EX| </math> ).

1. משתנה מקרי <math>\ X : \Omega \to \mathbb{R}</math> שקבוצת כל הערכים שהוא יכול לקבל, <math>\ A=X\left(\Omega\right) </math>, סופית. במקרה כזה מתקיים,

<math> P\left(X\in (a,b)\right)=\int_a^b f(x)dx </math>

לכל קטע <math> (a,b)\subseteq \mathbb{R} </math>. משתנה זה יקרא משתנה מקרי רציף והפונקציה <math> f </math> תקרא [[פונקציית צפיפות ההסתברות]] של המשתנה המקרי. במקרה כזה התוחלת של המשתנה המקרי ניתנת לחישוב באמצעות [[אינטגרל לא אמיתי|האינטגרל הלא אמיתי]] הבא (רק אם האינטגרל אכן קיים. אחרת התוחלת לא קיימת.)

<math>E[X]=\int_{-\infty}^\infty x \ f(x)\, dx </math>

<math>E[X]=\int_{0}^\infty \frac{x}{(1+x)^2}\, dx = \infty </math>.

פונקציית הסתברות משותפת של '''משתנה מקרי דו ממדי''' (X,Y) מוגדר כ: <math>\ F_X,_Y(x,y) = \mbox{P}( X = x \wedge Y = y ) </math>.

* [[מקריותאקראיות]]

* [[מומנט (סטטיסטיקההסתברות)]]