מכפלה ישרה – הבדלי גרסאות

אם <math>\ M_i</math> הם אובייקטים מאותו סוג לכל <math>\ i \in I</math>, כאשר <math>\ I</math> היא קבוצת אינדקסים, אז המכפלה הישרה היא ה[[מכפלה קרטזית|מכפלה הקרטזית]] <math>\prod_{i \prod_iin I} M_i </math>, כלומר קבוצת הפונקציות <math>\ f :\colon I \rightarrowto \cupbigcup_{i \in I} M_i</math> כך ש- <math>\ f(i) \in M_i</math> לכל <math>\ i\in I</math>. לעומת זאת, בסכום הישר כוללים רק את הפונקציות ש[[כמעט כל]] הערכים שלהן טריוויאליים, במובן המתאים לסוג האובייקט. להמחשת ההבדל, המכפלה הישרה <math>\ \mathbb{Z}^\omega</math> של <math>\ \aleph_0</math> עותקים של <math>\ \mathbb{Z}</math> אינה [[חבורה אבלית חופשית]]{{הערה|1=Baer, 1937}} (אבל תת-החבורה של הסדרות החסומות היא חופשית{{הערה|1=Specker, 1950}}).

ב[[תורת הקטגוריות]], המכפלה הישרה של אובייקטים <math>\ A_i</math> בקטגוריה, היא אובייקט <math>\ B=\prod A_i</math>, עם [[מורפיזם|מורפיזמים]] ("היטלים") <math>\pi_i \pi_icolon {:}B B\rightarrowto A_i</math>, המקיימים את התכונה הבאה: לכל אובייקט <math>\ C</math> בקטגוריה עם מורפיזמים <math>f_i \colon f_i{:}C \rightarrowto A_i</math>, קיים מורפיזם יחיד <math>f \colon f{:}C \rightarrowto B</math> כך ש- <math>\ f_i = \pi_i \circ f</math>.

הסכום הישר מוגדר באופן דואלי: הסכום הישר של האובייקטים <math>\ A_i</math>, הוא אובייקט <math>\ B=\coprod A_i</math>, עם מורפיזמים <math>\iota_i \iota_i {:}colon A_i \rightarrowto B</math>, המקיימים את התכונה הבאה: לכל אובייקט <math>\ C</math> בקטגוריה עם מורפיזמים <math>f_i \colon f_i{:}A_i \rightarrowto C</math>, קיים מורפיזם יחיד <math>f \colon f{:}B \rightarrowto C</math> כך ש- <math>\ f_i = f \circ \iota_i</math>. אם הסכום הישר קיים בקטגוריה, אז הוא יחיד עד כדי איזומורפיזם.