התפלגות ברנולי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ הוספת תבנית:בריטניקה בקישורים חיצוניים (תג) |
מאין תקציר עריכה |
||
שורה 1:
'''התפלגות ברנולי''' היא מונח מתחומי [[סטטיסטיקה]] ו[[תורת ההסתברות]], הקרוי על שם ה[[מתמטיקאי]] השווייצרי [[יאקוב ברנולי]], המתאר [[התפלגות]] בדידה של [[משתנה מקרי]] המקבל ערך <math>X=1</math> או ערך <math>X=0</math> בהסתברות <math>\Pr(X=1)=p</math> ו-
למשל, בהטלת קובייה תקינה תסומן התוצאה <math>6</math> כהצלחה וכל שאר התוצאות האחרות ככישלון. ההסתברות לנפילה על <math>6</math> בקובייה תקינה היא<math>\frac 16</math>, ולפיכך ההסתברות המשלימה המתייחסת לכל שאר התוצאות (1,2,3,4,5) היא <math>\frac 56</math>. בדוגמה זו ה[[משתנה מציין|משתנה המציין]] את המאורע המתאים הוא בעל התפלגות ברנולי עם פרמטר <math>p=\frac 16</math>.
את העובדה שלמשתנה מקרי <math>X</math> יש התפלגות ברנולי מסמנים <math>
משתני ברנולי הם אבני הבניין של ה[[התפלגות בינומית|התפלגות הבינומית]]. סכום של <math>
▲משתני ברנולי הם אבני הבניין של ה[[התפלגות בינומית|התפלגות הבינומית]]. סכום של <math>\ n</math> משתני ברנולי [[תלות (סטטיסטיקה)|בלתי תלויים]] בעלי הסתברות הצלחה p הוא בעל התפלגות בינומית כללית, <math>\ B(n,p)</math> (ובפרט ההתפלגות <math>\ B(1,p)</math> היא התפלגות ברנולי).
== תכונות ==
אם <math>X</math> הוא משתנה מקרי המתפלג ברנולי, אזי:
שורה 13 ⟵ 14:
[[פונקציית הסתברות]] <math>f</math> של התפלגות זו, עבור ערך אפשרי k היא:
:<math> f(k;p) = \begin{cases}
\end{cases}</math>
צורה שקולה לביטוי זה היא:
:<math>f(k;p) = p^k (1-p)^{1-k} \quad \text{for } k\in\{0,1\}</math>
או:
:<math>f(k;p) = pk+(1-p)(1-k) \quad \text{for } k\in\{0,1\}.</math>▼
בצורה זו ניתן להבחין בדמיון הרב להתפלגות בינומית, אשר התפלגות ברנולי היא מקרה פרטי עבור <math>n = 1
▲:<math>f(k;p)=pk+(1-p)(1-k) \quad \text{for } k\in\{0,1\}.</math>
גבנוניות ההתפלגות שואפת לאינסוף עבור ערכים גבוהים או נמוכים של <math>p
▲בצורה זו ניתן להבחין בדמיון הרב להתפלגות בינומית, אשר התפלגות ברנולי היא מקרה פרטי עבור <math>n = 1.</math>
▲גבנוניות ההתפלגות שואפת לאינסוף עבור ערכים גבוהים או נמוכים של <math>p,</math>. עבור ערכי <math>0 \le p \le 1</math> ההתפלגות יוצרת [[משפחה מעריכית]] ומדד הנראות המרבית של <math>p</math> עבור דגימה אקראית הוא ממוצע הדגימה.
== תוחלת ==
שורה 34 ⟵ 32:
<math>\mathbb{E}[X]= p</math>
זאת משום שעבור<math>X</math> בו <math>\Pr(X=1)=p</math> יחד עם <math>\Pr(X=0)=1-p</math>
:<math>\mathbb{E}[X] = \Pr(X=1)\cdot 1 + \Pr(X=0)\cdot 0
:= p \cdot 1 + (1-p)\cdot 0 = p.</math>
== שונות ==
ה[[שונות]] של משתנה מקרי <math>X</math> המתפלג ברנולי היא:
:<math>\operatorname{Var}[X] = pq = p(1 - p)</math>▼
====הוכחה====
▲<math>\operatorname{Var}[X] = pq = p(1-p)</math>
ראשית,
ומכאן:
:<math>\operatorname{Var}[X] = \mathbb{E}[X^2]-\mathbb{E}[X]^2 = p-p^2 = p(1-p) = pq</math>▼
כמובטח.
▲<math>\operatorname{Var}[X] = \mathbb{E}[X^2]-\mathbb{E}[X]^2 = p-p^2 = p(1-p) = pq</math>
==קישורים חיצוניים==
{{מיזמים
* {{MathWorld}}
* {{בריטניקה}}
| |||