שדה (מבנה אלגברי) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Matanyabot (שיחה | תרומות) מ בוט החלפות: \1מילים |
תרגום מאנגלית. אין טעם להגדיר מבנה אלגברי אחד באמצעות אחר. |
||
שורה 1:
[[קובץ:Diagramma di Venn dei numeri-he.svg|250px|ממוזער|[[מערכות מספרים]] ידועות: [[שדה המספרים המרוכבים|המרוכבים]], [[שדה המספרים הממשיים|הממשים]] ו[[שדה המספרים הרציונליים|הרציונליים]] הם שדות]]
'''שדה''' הוא [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] שעליה פועלים [[חיבור]], [[חיסור]], [[כפל]], ו[[חילוק]] המתנהגים כמו הפעולות המתאימות על [[מספר רציונלי|המספרים הרציונאליים]] ו[[שדה המספרים הממשיים|הממשיים]]. שדה הוא [[מבנה אלגברי]] בסיסי אשר נעשה בו שימוש נרחב [[אלגברה|באלגברה]] (במיוחד ב[[אלגברה מופשטת]]), [[תורת המספרים]], ותחומים רבים אחרים במתמטיקה.
השדות הידועים ביותר הם שדה [[מספר רציונלי|המספרים הרציונליים]], שדה [[שדה המספרים הממשיים|המספרים הממשיים]] ושדה [[מספר מרוכב|המספרים המרוכבים]]. שדות רבים אחרים, כגון [[שדה שברים|שדות של פונקציות רציונליות]], [[שדה מספרים|שדות מספרים]] ו[[מספר p-אדי|שדות p-אדיים]], נלמדים ומשומשים רבות במתמטיקה, במיוחד בתורת המספרים וב[[גאומטריה אלגברית|גיאומטריה אלגברית]]. רוב [[פרוטוקול קריפטוגרפי|הפרוטוקולים הקריפטוגרפיים]] נשענים על [[שדה סופי|שדות סופיים]], כלומר שדות עם כמות סופית של [[איבר (מתמטיקה)|איברים]].
הקשר בין שני שדות מתבטא ברעיון של [[הרחבת שדות]]. [[תורת גלואה]], אותה התחיל [[אווריסט גלואה]] במאה ה-19, מוקדשת להבנת הסימטריות (ה[[אוטומורפיזם|אוטומורפיזמים]]) של הרחבות שדה. בין היתר, תורה זו מראה כי לא ניתן [[שילוש זווית|לשלש זווית]] או [[הבעיות הגאומטריות של ימי קדם#%D7%AA%D7%A8%D7%91%D7%95%D7%A2%20%D7%94%D7%A2%D7%99%D7%92%D7%95%D7%9C|לתרבע מעגל]] באמצעות [[בנייה בסרגל ובמחוגה|סרגל ומחוגה]]. יתרה מזאת, היא מראה כי [[משוואה ממעלה חמישית|משוואות ממעלה חמישית]] אינן ניתנות לפתרון אלגברי.
שדות משמשים כרעיונות יסוד במספר תחומים מתמטיים. זה כולל ענפים שונים של [[אנליזה מתמטית]], המבוססים על שדות עם מבנה נוסף. משפטים בסיסיים באנליזה מצביעים על המאפיינים המבניים של שדה המספרים הממשיים. כל שדה עשוי לשמש [[סקלר (מתמטיקה)|כסקלרים]] עבור [[מרחב וקטורי]], שהוא ההקשר הכללי הסטנדרטי עבור [[אלגברה ליניארית|אלגברה לינארית]]. [[שדה מספרים|שדות מספרים]], אחיהם של שדה המספרים הרציונליים, נלמדים לעומק ב[[תורת המספרים]].
== היסטוריה ==
| |||