כלל לייבניץ לגזירה תחת סימן האינטגרל – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Bustan1498 (שיחה | תרומות) |
Bustan1498 (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
שורה 84:
כנדרש. <math>\blacksquare</math>
== דוגמאות ==
=== דוגמה 1 - גבולות התלויים במשתנה הגזירה ===
נחשב את הנגזרת הבאה (<math>x>0</math>):
<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_x^{x^2} \frac{\cos t}{t} \,\mathrm{d}t
= \frac{\cos(x^2)}{x^2} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^2) -
\frac{\cos(x)}{x} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x)
= \frac{\cos(x^2)}{x^2} \cdot 2x - \frac{\cos(x)}{x} \cdot 1
= \frac{2\cos(x^2)-\cos(x)}{x}</math>.
=== דוגמה 2 - שימוש בכלל לחישוב אינטגרלים ===
נחשב את האינטגרל
<math>\int_0^1 \frac{x^2-1}{\ln(x)} \,\mathrm{d}x</math>.
לשם כך, נסמן
<math>f(\alpha) = \int_0^1 \frac{x^\alpha-1}{\ln(x)} \,\mathrm{d}x</math>
עבור <math>\alpha > 0</math> והאינטגרל בו אנו מתעניינים הוא <math>f(2)</math>. נגזור ונקבל
<math>f'(\alpha)
= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha} \int_0^1 \frac{x^\alpha-1}{\ln(x)} \,\mathrm{d}x
= \int_0^1 \frac{1}{\ln(x)} \frac{\partial}{\partial \alpha} \left( e^{\alpha \ln(x)}-1 \right)
\mathrm{d}x
= \int_0^1 \frac{1}{\ln(x)} \ln(x) \cdot e^{\alpha \ln(x)} \,\mathrm{d}x
= \int_0^1 x^\alpha \,\mathrm{d}x
= \left. \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} \right|_{x=0}^1
= \frac{1}{\alpha+1}</math>.
מכאן
<math>f(\alpha)
= \int \frac{1}{\alpha+1} \,\mathrm{d}\alpha
= \ln(\alpha+1) + C</math>.
נבחין ש- <math>f(0) = \int_0^1 0 \,\mathrm{d}x = 0</math>. אזי
<math>f(0) = \ln(0+1) + C = C = 0</math>
כלומר
<math>f(\alpha) = \ln(\alpha+1)</math>
ולכן
<math>{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{2}-1}{\ln(x)}}\,\mathrm {d} x} = \ln(3)</math>.
| |||