כלל לייבניץ לגזירה תחת סימן האינטגרל

כלל לייבניץ לגזירה תחת סימן האינטגרל (הקרוי על שם המתמטיקאי גוטפריד וילהלם לייבניץ) הוא כלל שימושי בחשבון אינפיניטסימלי לגזירת ביטויים מהצורה .

ניסוח הכללעריכה

תהי   פונקציה מוגדרת במלבן  , וגזירה ברציפות לפי   (  קיימת ורציפה). נניח בנוסף שהפונקציות   גזירות בקטע  . אזי

 .

מקרה פרטי ונפוץ של הכלל הוא כאשר הפונקציות   קבועות, כלומר  . אז נקבל כי

 .

הוכחת הכללעריכה

שלב א' - הוכחת המקרה הפרטיעריכה

תהי   רציפה. נגדיר

 

ונטען שהיא רציפה. יהי  . כיוון ש-  רציפה בתחום קומפקטי (מלבן) היא רציפה במידה שווה שם. מכאן שקיים   כך שאם   אז  .

יהיו   המקיימים  . אבל   ולכן

 .

מכאן ש-  אכן רציפה (ולמעשה אפילו במידה שווה).

בפרט אם נבחר   היא רציפה מההנחה ש-  רציפה. כעת, נביט בהפרש:

 .

כיוון ש-  רציפה וגזירה לפי  , נוכל להיעזר במשפט לגרנז' ולקבל שקיימת   כך ש-  (זאת כי קיבענו את  ). לכן:

 

כי   רציפה. כלומר, הראנו כי  .

שלב ב' - הוכחת המקרה הכלליעריכה

אנו רוצים לחשב את נגזרת הפונקציה

 .

לשם כך, נגדיר פונקציה חדשה

 

ונבחין כי

 

מהמשפט היסודי הנגזרות החלקיות של   לפי   ולפי   הן

 

ואלו רציפות מההנחה ש-  רציפה. בנוסף, מהמקרה הפרטי של המשפט, הנגזרת החלקית של   לפי   היא

 

וזו פונקציה רציפה מההנחה ש-  רציפה. מכיוון שכל הנגזרות החלקיות של   קיימות ורציפות, נסיק שהיא דיפרנציאבילית. לכן גם   דיפרנציאבילית, ומכלל השרשרת מתקיים

 

כנדרש.  

דוגמאותעריכה

דוגמה 1 - גבולות התלויים במשתנה הגזירהעריכה

נחשב את הנגזרת הבאה ( ):

 .

דוגמה 2 - שימוש בכלל לחישוב אינטגרליםעריכה

נחשב את האינטגרל

 .

לשם כך, נסמן

 

עבור   והאינטגרל בו אנו מתעניינים הוא  . נגזור ונקבל

 .

מכאן

 .

נבחין ש- . אזי

 

כלומר

 

ולכן

 .

קישורים חיצונייםעריכה