כלל לייבניץ לגזירה תחת סימן האינטגרל – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Bustan1498 (שיחה | תרומות) |
Bustan1498 (שיחה | תרומות) |
||
שורה 15:
== הוכחת הכלל ==
=== שלב א' - הוכחת המקרה הפרטי ===
תהי <math>g(x,y)</math> רציפה. נגדיר
<math>G(
ונטען שהיא רציפה. יהי <math>\varepsilon > 0</math>. כיוון ש-<math>
יהיו <math>y_1,y_2 \in [\alpha,\beta]</math> המקיימים <math>|y_1-y_2| < \delta</math>. אבל <math>d((x,y_1),(x,y_2)) = |y_1-y_2| < \delta</math> ולכן
<math>|G(y_1)-G(y_2)|
= \left| \int_a^b
= \left| \int_a^b (
\leq \int_a^b |
< \int_a^b \varepsilon \,\mathrm{d}x
= \varepsilon (b-a)</math>.
מכאן ש-<math>G</math> אכן רציפה (ולמעשה אפילו במידה שווה).
בפרט אם נבחר <math>G(y) = \int_a^b \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) \,\mathrm{d}x</math> היא רציפה מההנחה ש-<math>\frac{\partial f}{\partial y}</math> רציפה. כעת, נביט בהפרש:
<math>\Delta G
שורה 122:
= \ln(\alpha+1) + C</math>.
נבחין ש-
<math>f(0) = \ln(0+1) + C = C = 0</math>
| |||