התפלגות פואסון – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
ביטול גרסה: אנא הסבירו בדף השיחה |
כמעט שחזור (המשפט במחלוקת נשאר מוסתר), פרמטר להתפלגות בדידה |
||
שורה 1:
{{נתוני התפלגות
| שם = התפלגות פואסון
| תמונת
| גודל תמונה = 330px
| תמונת מצטברת = PoissonCDF.png
שורה 7:
| תומך = <math>k \in \{0,1,2,\ldots\}</math>
| הסתברות = <math>\frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}\!</math>
| מצטברת = <math>\frac{\Gamma(k+1, \lambda)}{k!}\!</math>
| תוחלת = <math>\lambda</math>
שורה 20 ⟵ 19:
| גבנוניות = <math>\frac{2}{\lambda}</math>
}}
ב[[תורת ההסתברות]], '''התפלגות פואסון''' (Poisson distribution) היא [[התפלגות]] של [[משתנה מקרי]] בדיד, הקרויה על שם המדען ה[[צרפת]]י [[סימאון דני פואסון]] (1781–1840).
שורה 26 ⟵ 25:
אם X הוא משתנה מקרי בדיד שמתפלג פואסונית, אז הוא יכול לקבל רק ערכים [[מספר שלם|שלמים]] אי שליליים, וההסתברות לקבלת הערך k היא
▲<math>P\left(X=k\right)=\frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} </math>.
התפלגות פואסון מתקבלת כאשר סופרים אירועים נדירים שמתרחשים בפרק זמן קבוע. אם האירועים מתרחשים באופן בלתי תלוי ובקצב (ממוצע) קבוע, אזי מספר האירועים שהתרחשו בפרק זמן נתון מתפלג פואסונית.
שורה 35 ⟵ 31:
הנוסחה מתארת את הסיכוי שיקרו k אירועים בזמן שפרופורציוני ל-<math>\lambda</math>.
התפלגות פואסון מתקבלת מ[[התפלגות בינומית]] כאשר המכפלה של מספר ה[[ניסוי]]ים בסיכויי ההצלחה בכל ניסוי נשארת קבועה (ושווה ל-<math>\lambda</math>), ומספר הניסויים [[שואף לאינסוף]]. ניתן לפרש את הפרמטר <math>\lambda</math> כמספר המאורעות הממוצע המתרחש לכל דגימה. <!-- קירוב זה נקרא '''חוק המספרים הקטנים'''.{{הערה|שם=חוק}} --> הקירוב הזה מתיישב עם העובדה שה[[תוחלת]] וה[[שונות]] של משתנה מקרי פואסוני שוות שתיהן ל-<math>\lambda</math>.
מאידך, כאשר <math>\lambda\rightarrow \infty</math>, ההתפלגות של <math>\frac{X - \lambda}{\sqrt{\lambda} }</math> מתקרבת להתפלגות הנורמלית הסטנדרטית ([[משפט הגבול המרכזי]]).
שורה 47 ⟵ 43:
התפלגות פואסונית מתאימה לתיאור מספר התופעות המתרחשות בפרק זמן מסוים, כאשר ההסתברות להתרחשות התופעה בפרק זמן קצרצר היא קבועה.
הכלכלן [[לדיסלב פון בורטקייביץ']] {{אנ|Ladislaus von Bortkiewicz}}, שהיה פרופסור בברלין בשנים 1901–1931, הוא אחד הראשונים שהבינו את החשיבות המעשית של התפלגות פואסון. בספרו "חוק המספרים הקטנים" הוא נתן דוגמאות (מקבריות) רבות, שאחת הידועות שבהן היא ההתפלגות של מספר החיילים בגדוד של חיל הפרשים ה[[פרוסיה|פרוסי]] שנהרגו בשנה מבעיטת סוס.{{הערה|שם=חוק|{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=_Wkpj3mOn3MC|title=Laws Of Small Numbers: Extremes And Rare Events|publisher=Springer Science & Business Media|year=2004|isbn=978-3-7643-2416-2|oclc=1183958402|author1=Michael Falk|author2=Jürg Hüsler|author3=Rolf-Dieter Reiss}}}}
להלן דוגמאות נוספות:
| |||