סדר חלקי – הבדלי גרסאות

* היחס [[יחס טרנזיטיבי|טרנזיטיבי]], [[יחס אנטי-סימטרי|אנטי-סימטרי]] ו[[יחס רפלקסיבי|רפלקסיבי]] - זהו '''יחס סדר חלש'''.

* היחס [[יחס טרנזיטיבי|טרנזיטיבי]], [[יחס א-סימטרי|א-סימטרי]] ו[[יחס רפלקסיבי|אי-רפלקסיבי]] - זהו '''יחס סדר חזק'''. (יחס טרנזיטיבי הוא א-סימטרי אם ורק אם הוא אי-רפלקסיבי).

 

אקסיומות אלה מתמצתות את התפיסה האינטואיטיבית של סדר: דבר אינו יכול להיות גם גדול מדבר אחר וגם קטן ממנו, ואם דבר אחד קטן משני הקטן משלישי, אז הראשון קטן מן השלישי. מושג הסדר החלקי לוכד אינטואיציה זו באופן אקסיומטי.

 

מקובל לסמן יחסי סדר בווריאציות על [[סימן אי-השוויון]] <math><</math>, והיפוכו <math>></math>. הסימון ליחסי סדר חלשים כולל גם רמז ל[[סימן השוויון]], כגון <math>\leq, \preceq</math>, בעוד שהסימון ליחסי סדר חזקים אינו כולל אותו: <math><, \prec</math>).

 

שני סוגי היחסים כרוכים זה בזה: אם <math>\leq</math> יחס סדר חלש, אז היחס (<math>a \leq b</math> אבל <math>a \neq b</math>) הוא יחס סדר חזק. אם <math><</math> יחס סדר חזק, אז היחס (<math>a < b</math> או <math>a = b</math>) הוא יחס סדר חלש. מאידך, יחס סדר אינו יכול להיות גם חזק וגם חלש (אלא אם מדובר ביחס הריק על [[הקבוצה הריקה]]).

 

באופן כללי יכולים להיות שני איברים של <math>X</math> שאינם ניתנים להשוואה מבחינת היחס, ולכן הוא נקרא גם '''יחס סדר חלקי'''. אם עבור כל <math>a,b \in X</math> מתקיים <math>a \le b</math> או <math>b \le a</math> אז קוראים ליחס <math>\le</math> '''סדר ליניארי''' (או '''[[סדר מלא]]'''), ולזוג <math>\left(X, \le\right)</math> '''קבוצה סדורה ליניארית''', או '''[[שרשרת (מתמטיקה)|שרשרת]]'''.

 

* קבוצת כל [[מספר טבעי|המספרים הטבעיים]] <math>\left(\mathbb{N},\le\right)</math> עם הסדר הסטנדרטי עליהם, היא קבוצה סדורה ליניארית. כך גם ה[[ממשיים]].

*יחס החלוקה של [[מספר טבעי|מספרים טבעיים]] <math>\mid</math> מוגדר כך ש-<math>m \mid n</math> אם ורק אם <math>m</math> [[מחלק]] את <math>n</math>. הקבוצה <math>\left(\mathbb{N},\mid\right)</math> היא קבוצה סדורה חלקית שאינה סדורה ליניארית, שכן לא ניתן, למשל, להשוות בין 5 ו-2, שאינם מחלקים אחד את השני.